Lösung für Aufgabe 7.1.8
- Zeigen Sie mit Hilfe der Summensätze, dass $\cos 2x=2\cos^2x-1$ gilt.
- Berechnen Sie ohne Taschenrechner $\cos\frac{\pi}{8}$.
- Bestimmen Sie ohne Taschenrechner $\sin\frac{\pi}{8}$.
Die Summensätze sind $$ \cos(\al+\be)=\cos\al\cos\be-\sin\al\sin\be $$ und $$ \sin(\al+\be)=\sin\al\cos\be+\cos\al\sin\be. $$ Außerdem verwenden wir $$ \sin^2\al+\cos^2\al = 1. $$ Wir rechnen $$ \cos 2y = \cos(y+y) = \cos^2 y - \sin^2 y = 2\cos^2 y -1 $$ Dann setzen wir $y=\tfrac x2$ und lösen nach $\cos\tfrac x2$ auf: $$ \cos\tfrac x2 = \sqrt{\frac{\cos x+1}2}. $$ Unter Verwendung von $\cos\tfrac\pi4=\tfrac{\sqrt2}2$ erhalten wir durch Einsetzen $$ \cos\tfrac\pi8 = \frac{\sqrt{2+\sqrt2}}2 $$ und $$ \sin\tfrac\pi8=\sqrt{1-\cos^2\tfrac\pi8}=\frac{\sqrt{2-\sqrt2}}2. $$