Lösung für Aufgabe 7.1.9
- Zeigen Sie, dass $\sin (u+v)+\sin (u-v)= 2\sin u\cos v$ gilt.
- Falls $x$ und $y$ gegeben sind, wie muss man $u$ und $v$ wählen, dass $u+v=x$ und $u-v=y$ gelten?
- Leiten Sie aus 1. und 2. eine Formel für $\sin x+\sin y$ her.
- In analoger Weise leiten Sie eine Formel für $\cos x+\cos y$ her.
- Zunächst folgt aus dem Summensatz $$ \sin(u+v)=\sin u\cos v+\cos u\sin v, $$ dass $$ \sin(u-v) = \sin(u+(-v))=\sin u\cos(-v)+\cos u\sin(-v). $$ Weil $\sin$ eine ungerade Funktion ist und $\cos$ eine gerade folgt $$ \sin(u-v)=\sin u\cos v-\cos u\sin v. $$ Addieren wir die erste und die letzte Gleichung, so folgt das gewünschte Resultat.
- Dazu verwenden wir Aufgabe 7.1.3 und erhalten $$ u=\frac{x+y}2,\quad v=\frac{x-y}2. $$
- Es gilt $$ \sin x+\sin y = 2\sin\left(\frac{x+y}2\right)\cos\left(\frac{x-y}2\right). $$
- $$ \cos x+\cos y = 2\cos\left(\frac{x+y}2\right)\cos\left(\frac{x-y}2\right). $$