Lösung für Aufgabe 7.2.28 (Erweiterungsstoff)
Seien $P,Q,R$ die Eckpunkte eines Dreiecks, und sei $S$ ein beliebiger Punkt in der Ebene. Beweisen Sie, dass es immer reelle Zahlen $\la$, $\mu$ und $\nu$ gibt mit $S=\la P+\mu Q+\nu R$ und $\la+\mu+\nu=1$. Das Tripel $(\la,\mu,\nu)$ nennt man die baryzentrischen Koordinaten von $S$ bezüglich des Dreiecks $D_{PQR}$. Zeigen Sie weiters, dass $S\in D_{PQR}$ genau dann, wenn $0\leq \la$, $0\leq\mu$ und $0\leq\nu$ gelten.Weil $P,Q,R$ ein Dreieck bilden, sind $v:=Q-P$ und $w:=R-P$ nicht kollinear. \begin{eqnarray*} S=\la P+\mu Q+\nu R &\liff& S=(1-\mu-\nu)P+\mu Q+\nu R = P+\mu(Q-P)+\nu(R-P) \\ &\liff& \underbrace{S-P}_{u\in\R^2\text{beliebig}} = \mu(Q-P)+\nu(R-P)= \mu v+\nu w \end{eqnarray*} Es bleibt die folgende Behauptung zu zeigen: Sind $v$, $w$ nicht kollinear und $u\in\R^2$ beliebig, dann gibt es $(\mu,\nu)\in\R^2$ mit $u=\mu v+\nu w$. Beweis: Betrachten wir die Geraden $g_{0v}$ und $g_{u(-w)}$. Nach Theorem 7.2.19 besitzen sie einen Schnittpunkt $R$, weil $v$ und $w$ nicht kollinear sind. Wegen $R\in g_{Ov}$ gibt es $\mu$ mit $R=0+\mu v$. Wegen $R\in g_{u(-w)}$ gibt es $\nu$ mit $R=u+\nu(-w)$, also $u=0+\mu v+\nu w$. Das beweist die Behauptung und den Rest.