Lösung für Aufgabe 7.2.41
Beweisen Sie, dass Gleichheit in der Dreiecksungleichung $\|x+y\|\leq\|x\|+\|y\|$ genau dann gilt, falls die beiden Vektoren $x$ und $y$ kollinear und gleich orientiert sind oder einer der Vektoren der Nullvektor ist.Hinweis: Verwenden Sie die Cauchy–Schwarz Ungleichung und den Zusammenhang zwischen Norm und Skalarprodukt.
Es gilt, dass $\|x+y\|=\|x\|+\|y\|$ genau dann, wenn $\|x+y\|^2=\|x\|^2+2\|x\|\|y\|+\|y\|^2$ und wegen $\|x+y\|^2=\ip{x+y}{x+y}=\ip xx+2\ip xy+\ip yy$ ist die zweite Gleichung genau dann erfüllt, wenn $\ip xy=\|x\|\|y\|$. Aus der Cauchy-Schwarz Ungleichung (Proposition 7.2.40) folgt, dass diese Gleichheit genau dann gilt, wenn $x=\la y$ für $\la\geq 0$.