Lösung für Aufgabe 7.2.57
Gegeben sind die Punkte $A=(-2,-4)$, $B=(4,4)$, $C=(3,19)$ und $D=(-9,3)$. Prüfen Sie nach, dass $ABCD$ ein Trapez bildet. (Eines der beiden Paare von gegenüberliegenden Seiten muss zueinander parallel sein.) Berechnen Sie weiters die vier Winkel, den Umfang, den Flächeninhalt und die Höhe (den Abstand der parallelen Seiten).Wir berechnen die Vektoren der Seitenkanten: $$ \overrightarrow{AB}=(6,8),\quad \overrightarrow{BC}=(-1,15),\quad \overrightarrow{CD}=(-12,-16),\quad \overrightarrow{DA}=(7,-1) $$ und sehen, dass $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{CD}$ kollinear sind. Die Seitenlängen sind $$ \ol{AB} = 10,\quad \ol{BC} = 15.033,\quad \ol{CD} = 20,\quad \ol{DA} = 7.071. $$ und die vier Winkel sind $$ \al = 1.06919,\quad \be = 0.71007,\quad \ga = 2.43152,\quad \de = 2.07240. $$ Der Umfang ist $52.104$. Für den Abstand $h$ der parallelen Seiten können wir z.B. die HNF verwenden, indem wir den Abstand von $A$ zu $g_{C:D}$ ausrechnen: $$ HNF_{g_{C:D}}:\frac{4x-3y+45}5,\quad h=\frac{49}5. $$ Der Flächeninhalt ist schließlich $$ A=\tfrac12h(\ol{AB}+\ol{CD})=147. $$