Lösung für Aufgabe 7.2.64
Rechnen Sie explizit nach, dass die Drehung $D_\ph$ in der Ebene eine lineare Abbildung ist, d.h. zeigen Sie explizit die Gültigkeit von (7.13).Die Drehung $D_\ph$ ist definiert als $$ D_\ph:\R^2\to\R^2,\quad D_\ph(x_1,x_2)=(x_1\cos\ph-x_2\sin\ph,x_1\sin\ph+x_2\cos\ph). $$ Seien $(x_1,x_2),(y_1,y_2)\in\R^2$ und $\la\in\R$ gegeben. Dann gilt \begin{eqnarray*} D_\ph((x_1,x_2)+(y_1,y_2))&=&D_\ph(x_1+y_1,x_2+y_2)=((x_1+y_1)\cos\ph-(x_2+y_2)\sin\ph,(x_1+y_1)\sin\ph+(x_2+y_2)\cos\ph)\\ &=&(x_1\cos\ph-x_2\sin\ph+y_1\cos\ph-y_2\sin\ph,x_1\sin\ph+x_2\cos\ph+y_1\sin\ph+y_2\cos\ph)\\ &=&(x_1\cos\ph-x_2\sin\ph,x_1\sin\ph+x_2\cos\ph)+(y_1\cos\ph-y_2\sin\ph,y_1\sin\ph+y_2\cos\ph)\\ &=&D_\ph(x_1,x_2)+D_\ph(y_1,y_2),\\ D_\ph(\la(x_1,x_2))&=&D_\ph(\la x_1,\la x_2)=((\la x_1)\cos\ph-(\la x_2)\sin\ph,(\la x_1)\sin\ph+(\la x_2)\cos\ph)\\ &=&(\la(x_1\cos\ph-x_2\sin\ph),\la(x_1\sin\ph+x_2\cos\ph))\\ &=&\la(x_1\cos\ph-x_2\sin\ph,x_1\sin\ph+x_2\cos\ph)=\la D_\ph(x_1,x_2). \end{eqnarray*}