Lösung für Aufgabe 7.2.65
Zeigen Sie, dass für $\la\in\R$ die Abbildung $(x_{1},x_{2})\mapsto(\la x_{1},\la x_{2})$ linear ist.Nennen wir die Abbildung $M_\la$. Dann gilt $$ M_\la:\R^2\to\R^2,\quad M_\la(x_1,x_2)=(\la x_1,\la x_2). $$ Seien $(x_1,x_2),(y_1,y_2)\in\R^2$ und $\mu\in\R$ gegeben. Dann gilt \begin{eqnarray*} M_\la((x_1,x_2)+(y_1,y_2))&=&M_\la(x_1+y_1,x_2+y_2)=(\la(x_1+y_1),\la(x_2+y_2))=(\la x_1+\la y_1,\la x_2+\la y_2)\\ &=&(\la x_1,\la x_2)+(\la y_1,\la y_2)=M_\la(x_1,x_2)+M_\la(y_1,y_2),\\ M_\la(\mu(x_1,x_2))&=&M_\la(\mu x_1,\mu x_2)=(\la(\mu x_1),\la(\mu x_2)) =(\mu(\la x_1),\mu(\la x_2))\\ &=&\mu(\la x_1,\la x_2)=\mu M_\la(x_1,x_2). \end{eqnarray*}