Lösung für Aufgabe 7.4.23
Beweisen Sie Proposition 7.4.22 und Formel (7.28).Wir können einfach den Beweis von Proposition 7.2.52 auf den $\R^n$ übertragen: Der Normalabstand von $R$ zu $h_{P,\mathfrak{n}}$ ist der Abstand $d(R,F)$, wobei $F$ der Schnittpunkt von $h_{P,\mathfrak{n}}$ mit der Geraden $g_{R\mathfrak{n}}$ ist. Der Schnittpunkt lässt sich einerseits schreiben als $F=R+\la\mathfrak{n}_{0}$ für ein reelles $\la$ (hier ist $\mathfrak{n}_{0}$ der normierte orientierungsgleiche kollineare Vektor zu $\mathfrak{n}$). Andererseits gilt $\ip{\mathfrak{n}_{0}}F-d=0$. Setzen wir für $F$ ein, so erhalten wir $\ip{\mathfrak{n}_{0}}{R+\la\mathfrak{n}_{0}}-d=0$. Nun verwenden wir Proposition 7.4.12 und finden $$ 0=\ip{\mathfrak{n}_{0}}R+\la\ip{\mathfrak{n}_{0}}{\mathfrak{n}_{0}}-d= \ip{\mathfrak{n}_{0}}R+\la-d, $$ also $\la=\ip{\mathfrak{n}_{0}}R-d$. Nun gilt $$ d(R,F)=\|F-R\|=\|R+\la\mathfrak{n}_{0}-R\|=|\la|\,\|\mathfrak{n}_{0}\|=|\la|= |\ip{\mathfrak{n}_{0}}R-d|. $$