1.2 Metriken

Um die Fehler, die wir beim Approximieren machen abschätzen zu können, müssen wir die Distanz zwischen wahren und approximierten Punkt messen. Wir fassen die wesentlichen Eigenschaften der Distanzfunktion nun zusammen, um unabhängiger davon zu werden, welche Objekte wir vergleichen, wie z.B. reelle Zahlen, komplexe Zahlen, Punkte oder Kurven in der Ebene oder im Raum, etc. .

1.2.1 Definition. Metrik.
Die Abstands- oder auch Distanzfunktion $d:(x,y)\mapsto d(x,y):=\vert x-y\vert=\sqrt{\sum_k \vert x_k-y_k\vert^2}$, $d:\mathbb{R}^p\times \mathbb{R}^p\to\mathbb{R}$ oder $d:\mathbb{C}^p\times \mathbb{C}^p\to\mathbb{R}$ hat folgende Eigenschaften

(d0)

Positiv Definitheit: $d(x,y)=0\Leftrightarrow x=y$

(d1)

Symmetrie: $d(x,y)=d(y,x)$

(d2)

Dreiecksungleichung: $d(x,z)\leq d(x,y)+ d(y,z)$

Allgemeine heißt eine Abbildung $d:X\times X\to\mathbb{R}$ eine Metrik auf einer Menge $X$, falls die Eigenschaften (d0), (d1) und (d2) erfüllt sind. Eine Menge $X$ zusammen mit einer Metrik $d$ heißt metrischer Raum. Beachte, daß jede Metrik $d(x,y)\geq 0$ erfüllt, denn $0=d(x,x)\leq d(x,y)+d(y,x)=2d(x,y)$.

1.2.2 Beispiele von Metriken.

$\bullet$

Die euklidische Metrik: Sei $X\subseteq \mathbb{C}^n$. Dann ist $d(x,y):=\vert x-y\vert$ eine Metrik auf $X$ wegen der Dreiecksungleichung für Längen von Vektoren.

$\bullet$

Die Taxi-Metrik: $d(x,y):=\sum_k\vert x_k-y_k\vert$ ist ebenfalls eine Metrik auf $X\subseteq \mathbb{C}^n$.

$\bullet$

Die Maximums-Metrik: $d(x,y):=\max\{\vert x_k-y_k\vert:1\leq k\leq n\}$ ist auch eine Metrik auf $X$.

$\bullet$

Die Supremums-Metrik: $d(x,y):=\sup\{\vert x(t)-y(t):t\in T\}$ ist eine Metrik auf der Menge der Funktionen $x:T\to\mathbb{R}$, welche beschränkt sind, d.h. $d(x,0)<{\infty}$. Unter dem Supremum $\sup M$ einer Menge $M\subseteq \mathbb{R}$ versteht man die kleinste obere Schranke.

$\bullet$

Die Hamming-Metrik: Es sei $X$ die Menge der endlichen Folgen in einer Menge $X$ und sei $d(x,y)$ die Anzahl der Stellen an welchen sich $x=(x_1,\dots,x_n)$ von $y=(y_1,\dots,y_m)$ unterscheidet.

1.2.3 Definition. Bälle.
Es sei $d$ eine Metrik auf einer Menge $X$, $x_0\in X$ und $r>0$. Dann heißt die Menge $U_r(x_0):=\{x\in X:d(x,x_0)<r\}$ der offene Ball um $x_0$ mit Radius $r$ oder auch $r$-Umgebung. Ebenso heißt die Menge $B_r(x_0):=\{x\in X:d(x,x_0)\leq r\}$ der abgeschlossene Ball um $x_0$ mit Radius $r$. In obigen Beispielen mit $n=3$ sind dies

$\bullet$

Eine Kugel

$\bullet$

Ein Oktaeder

$\bullet$

Ein Würfel

1.2.4 Definition. Beschränkt.
Eine Teilmenge $M\subseteq X$ eines metrischen Raumes heißt beschränkt, wenn ihr Durchmesser $d(M):=\sup\{d(x,y):x,y\in M\}$ endlich ist. Dies ist genau dann der Fall, wenn sie in einem Ball mit hinreichend großen Radius enthalten ist, denn:
( $\Leftarrow$) $M\subseteq B_r(x_0)$ $\Rightarrow$ $\forall x,y\in M$: $d(x,y)\leq d(x,x_0)+d(x_0,y)\leq 2r$ $\Rightarrow$ $d(M)\leq 2r$.

( $\Rightarrow$) Es sei $d(M)<{\infty}$ und $x_0\in M$, dann ist $M\subseteq B_{d(M)}(x_0)$, denn für $x\in M$ ist $d(x,x_0)\leq d(M)$.

1.2.5 Proposition. Supremumsprinzip.
Es sei $M\subseteq \mathbb{R}$ (nach oben) beschränkt und nicht leer.
Dann existiert das Supremum $\sup M$, die kleinste obere Schranke von $M$.

Umgekehrt heißt die größte untere Schranke von $M$ das Infimum $\inf(M)$. Falls $M$ nach oben unbeschränkt ist, d.h. keine reelle obere Schranke existiert und höchstens $+{\infty}$ als obere Schranke bezeichnet werden kann, dann schreiben wir $\sup M:=+{\infty}$. Für nach unten unbeschränkte Mengen $M$ setzen wir analog $\inf M:=-{\infty}$. Falls $M=\emptyset$, so ist jedes $r\in\mathbb{R}$ obere und unterer Schranke also setzten wir $\inf\emptyset=+{\infty}$ und $\sup\emptyset=-{\infty}$.

Beweis. Es sei $B:=\{b\in\mathbb{R}:\forall x\in M:x\leq b\}$ die Menge der oberen Schranken und $A:=\mathbb{R}\setminus A$. Da $M$ beschränkt ist, ist $B\ne\emptyset$, und da $M\ne \emptyset$ ist $A\ne\emptyset$ (Für $x\in M$ ist $\emptyset\ne \{y:y<x\}\subseteq A$). Es ist $(A,B)$ ein Dedekind'scher Schnitt, denn aus $x>b\in B$ folgt $x\in B$ (Transitivität der Ordnung). Nach dem Schnittaxiom (der Vollständigkeit von $\mathbb{R}$) existiert somit eine Schnittzahl $t$ mit $a\leq t\leq b$ für alle $a\in A$ und $b\in B$. Falls $M\cap B\ne\emptyset$ so ist $x\in M\cap B$ ein maximales Element von $M$ und somit ein minimales Element von $B$ also gleich $\sup M$. Andernfalls ist $M\subseteq A$ und somit $t$ eine obere Schranke von $M$ also $t\in B$ und somit ist $t$ ein minimales Element von $B$ also gleich $\sup M$.     []

1.2.6 Folgerung. Satz von Archimedes.
Für jedes $r\in\mathbb{R}$ existiert ein $n\in\mathbb{N}$ mit $r<n$, d.h. $\mathbb{N}$ ist unbeschränkt.

Beweis. Andernfalls gäbe es ein $r\in\mathbb{R}$ mit $n\leq r$ für alle $n\in\mathbb{N}$, d.h. $\mathbb{N}$ wäre (nach oben) beschränkt. Nach dem Supremumsprinzip 1.2.5 würde $\alpha :=\sup(\mathbb{N})$ existieren und damit gäbe es wegen der Minimalität von $\alpha$ ein $n\in\mathbb{N}$ mit $n>\alpha -1$, d.h. $n+1>\alpha$, ein Widerspruch dazu, daß $\alpha$ obere Schranke von $\mathbb{N}$ ist.     []

1.2.7 Folgerung. Satz von Eudoxos.
Für jedes $\varepsilon >0$ existiert ein $n\in\mathbb{N}$ mit $\frac1n<\varepsilon$.

Beweis. Wende den Satz von Archimedes auf $r:=\frac1{\varepsilon }$ an um ein $n\in\mathbb{N}$ mit $r<n$, d.h. mit $\frac1n<\varepsilon$ zu erhalten.     []

1.2.8 Definition. Intervalle.
Unter einen Intervall $I\subseteq \mathbb{R}$ versteht man eine nicht-leere Teilmenge die mit je zwei Elementen $a,b\in I$ auch alle dazwischenliegenden enthält. Jedes Intervall $I$ ist also von der Form $I=\{x\in\mathbb{R}:\alpha <x<\beta \}=:(\alpha ,\beta )$ oder $I=\{x\in\mathbb{R}:\alpha \leq x<\beta \}=:[\alpha ,\beta )$ oder $I=\{x\in\mathbb{R}:\alpha <x\leq \beta \}=:(\alpha ,\beta ]$ oder $I=\{x\in\mathbb{R}:\alpha \leq x\leq\beta \}=[\alpha ,\beta ]$, wobei $\alpha :=\inf(I)\in \mathbb{R}\cup\{-{\infty}\}$ und $\beta :=\sup(I)\in\mathbb{R}\cup\{+{\infty}\}$.

1.2.9 Lemma. Charakterisierung von Intervallen.
Eine mindestens 2-elementige Teilmenge $I\subseteq \mathbb{R}$ ist genau dann ein Intervall, wenn jeder Dedekind'sche-Schnitt von $I$ eine Teilungszahl in $I$ besitzt.

Beweis. Sei $I$ ein Intervall und $(A,B)$ ein Dedekind'scher Schnitt von $I$. Sei $A':=\{x\in \mathbb{R}:\exists a\in A:x\leq a\}$ und $B':=\{x\in\mathbb{R}:\exists b\in B:x\geq b\}$. Dann ist $(A',B')$ ein Dedekind'scher Schnitt von $\mathbb{R}$ und besitzt somit eine Teilungszahl $t\in\mathbb{R}$. Für $a\in A\subseteq I$ und $b\in B\subseteq I$ ist $a\leq t\leq b$, also auch $t\in I$, da $I$ ein Intervall ist.

Sei umgekehrt $I$ eine Teilmenge von $\mathbb{R}$, für die jeder Dedekind'sche Schnitt eine Teilungszahl besitzt. Sei $\alpha :=\inf(I)\in \mathbb{R}\cup\{-{\infty}\}$ und $\beta :=\sup(I)\in\mathbb{R}\cup\{+{\infty}\}$. Dann ist $I\subseteq [\alpha ,\beta ]$. Sei $\alpha <t<\beta$ und $A:=\{x\in \mathbb{R}:x<t\}$ und $B:=\{x\in \mathbb{R}:x\geq t\}$. Dann ist $(A,B)$ ein Dedekind'scher Schnitt von $\mathbb{R}$ und auch von $I$ und $t$ ist seine Teilungszahl und somit nach Voraussetzung in $I$, d.h. das offene Intervall $(\alpha ,\beta )\subseteq I$, und somit $I$ ein Intervall.     []