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Lösung für Aufgabe 4.2.23
Bestimmen Sie die Restklassenmengen $\Z_{3}$, $\Z_{5}$, $\Z_{6}$.
Versuchen Sie, analog zu Definition 4.2.22 die Mengen
$\Z_{1}$ und $\Z_{0}$ zu definieren. Was passiert in diesen
Fällen?
- $\Z_3$ besteht aus drei Äquivalenzklassen, der Menge
$\ol{0}=\{3k\mid k\in\Z\}$ aller durch $3$ teilbaren Zahlen, der Menge
$\ol{1}=\{3k+1\mid k\in\Z\}$ aller Zahlen, die mit Rest $1$ durch $3$
geteilt werden, und $\ol{2}=\{3k+2\mid k\in\Z\}$ aller Zahlen, die
mit Rest $2$ durch $3$ geteilt werden.
- $\Z_5=\{\ol{0},\ol{1},\ol{2},\ol{3},\ol{4}\}$ mit
$\ol{0}=\{5k\mid k\in\Z\}$, $\ol{1}=\{5k+1\mid k\in\Z\}$,
$\ol{2}=\{5k+2\mid k\in\Z\}$, $\ol{3}=\{5k+3\mid k\in\Z\}$,
$\ol{4}=\{5k+4\mid k\in\Z\}$.
- $\Z_6=\{\ol{0},\ol{1},\ol{2},\ol{3},\ol{4},\ol{5}\}$ mit
$\ol{0}=\{6k\mid k\in\Z\}$, $\ol{1}=\{6k+1\mid k\in\Z\}$,
$\ol{2}=\{6k+2\mid k\in\Z\}$, $\ol{3}=\{6k+3\mid k\in\Z\}$,
$\ol{4}=\{6k+4\mid k\in\Z\}$, $\ol{5}=\{6k+5\mid k\in\Z\}$.
- $\Z_1$ ist einelementig, da je zwei Zahlen äquivalent bezüglich
$\sim_1$ sind.
- $\Z_0=\Z$, da Zahlen bezüglich $\sim_0$ nur zu sich selbst
äquivalent sind.
