Einführung in das mathematische Arbeiten

Lösung für Aufgabe 5.2.55

Zeigen Sie, dass die Menge aller invertierbaren Abbildungen einer beliebigen Menge M auf sich selbst eine Gruppe bildet. Ist die Menge endlich mit n Elementen, dann nennen wir die entstehende Gruppe die Permutationsgruppe mit n Elementen und bezeichnen sie mit \mathfrak S_n. Bestimmen Sie die Cayley–Tafeln von \mathfrak S_1, \mathfrak S_2 und \mathfrak S_4.

Wir wissen aus Kapitel 4, dass die Zusammensetzung von Abbildungen assoziativ ist. Die Identität id_M auf M ist bijektiv und das Einselement. Weil jede Abbildung f bijektiv ist, existiert die Umkehrabbildung f^{-1}, die Inverse zu f bezüglich der Verknüpfung. Daher sind die Gruppeneigenschaften erfüllt.

Die einelementige Menge besitzt nur eine Permutation, die Identität. Die zweielementige Menge besitzt die Identität und die Transposition \si, die die beiden Elemente vertauscht. Es gibt 24=4! Permutationen der vierelementigen Menge. Um diese eindeutig zu bezeichnen, führen wir die Zyklenschreibweise für Permutationen ein: Wenn wir z.B. (a\,b\,c\,d) schreiben, dann bezeichnen wir damit die Abbildung a\mapsto b, b\mapsto c, c\mapsto d, d\mapsto a und x\mapsto x für x\neq a,b,c,d. Schreiben wir mehrere solche Klammern nebeneinander, z.B. (a\,b\,c)(u\,v), dann bezeichnet das die Abbildung a\mapsto b, b\mapsto c, c\mapsto a, u\mapsto v, v\mapsto u und x\mapsto x für x\neq a,b,c,d,u,v. Die Cayley--Tafeln sind:

\mathfrak S_1:
\mathfrak S_2:
\mathfrak S_4: