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Lösung für Aufgabe 5.4.12

Sei (K+) Körper. Wir vereinbaren für abK mit b=0 die Schreibweise ab:=ba:=ab−1. Zeigen Sie die Gültigkeit der folgenden "`Regeln der Bruchrechnung"' (abcdK, bd=0):
  1. bacd=bdadbc,
  2. bacd=acbd,
  3. cdab=bcad(c=0).


  1. (bd)(ab−1cd−1)=(bd)(ab−1)(bd)(cd−1)=(da)(bb−1)(bc)(dd−1)=(ad)1(bc)1=adbc
    Jetzt multiplizieren wir die Gleichung mit (bd)−1 und erhalten das Gesuchte.
  2. (bd)((ab−1)(cd−1))=(bb−1)(ac)(dd−1)=1(ac)1=ac
    Durch Multiplikation der Gleichung mit (bd)−1 beenden wir den Beweis.
  3. (ab−1)(cd−1)−1=(ab−1)(c−1d)=(ad)(b−1c−1)=(ad)(bc)−1