Lösung für Aufgabe 7.2.72
SeienDas Produkt der beiden Spiegelungsmatrizen S_v und S_w ist
S_v S_w = \frac1{\|v\|^2\,\|w\|^2}\begin{pmatrix}
(v_1^2-v_2^2)(w_1^2-w_2^2)+4v_1v_2w_1w_2 & 2((v_1^2-v_2^2)w_1w_2-v_1v_2(w_1^2-w_2^2)) \\
-2((v_1^2-v_2^2)w_1w_2-v_1v_2(w_1^2-w_2^2)) & (v_1^2-v_2^2)(w_1^2-w_2^2)+4v_1v_2w_1w_2
\end{pmatrix}
Sie hat die Form einer Drehungsmatrix D_\ph mit
\cos\ph = {\;}\frac{(v_1^2-v_2^2)(w_1^2-w_2^2)+4v_1v_2w_1w_2}{\|v\|^2\,\|w\|^2} ={\;}
\frac{2(v_1^2w_1^2+v_2^2w_2^2+2v_1v_2w_1w_2)-(v_1^2+v_2^2)(w_1^2+w_2^2)}{\|v\|^2\,\|w\|^2}=
2\frac{(v_1w_1+v_2w_2)^2}{\|v\|^2\,\|w\|^2}-1.
Der Winkel zwischen den Vektoren v und w beträgt
\cos\al = {\;}\frac{v_1w_1+v_2w_2}{\|v\|\,\|w\|},
also gilt
\cos\ph = 2\cos^2\al-1 = \cos(2\al).
Die Drehung erfolgt also um den doppelten Winkel, den v und w einschließen.