4.1 Riemann-Integral

4.1.1 Definition.
Es sei $f:\mathbb{R}\supseteq I\to F$ eine beschränkte Abbildung auf einem kompakten Intervall $I$ mit Werten in einem endlich dimensionalen Vektorraum $F$. Es sei $\mathcal{Z}=\{I_1,\dots,I_N\}$ eine endliche Zerlegung von $I=[a,b]$ in Teilintervalle $I_1,\dots,I_N$. Als Obersumme von $f$ bzgl. der Zerlegung $\mathcal{Z}$ bezeichnet man

$$O(f,\mathcal{Z}):=\sum_{i=1}^N \vert I_i\vert\,\sup(f(I_i)) =\sum_{J\in\mathcal{Z}}\vert J\vert\,\sup(f(J))$$

und als Untersumme

$$U(f,\mathcal{Z}):=\sum_{i=1}^N \vert I_i\vert\,\inf(f(I_i)) =\sum_{J\in\mathcal{Z}}\vert J\vert\,\inf(f(J)),$$

wobei $\vert J\vert$ die Länge des Intervalls $J$ bezeichnet.

Weiters sei

$$O(f) := \inf\{O(f,\mathcal{Z}):\mathcal{Z} I\}$$

$$U(f) := \sup\{U(f,\mathcal{Z}):\mathcal{Z} I\}$$

Offensichtlich gilt $U(f)\leq O(f)$. Die Abbildung $f$ heißt nun Riemann-integrierbar, falls $O(f)=U(f)$, d.h.

$$\forall\varepsilon >0 \exists \mathcal{Z}_1,\mathcal{Z}_2: O(f,\mathcal{Z}_1)<U(f,\mathcal{Z}_2)+\varepsilon ,$$

und man schreibt

$$\int_If = \int_a^b f=\int_a^b f(x)\,dx$$

für diesen Wert, und nennt dies das Riemann-Integral der Abbildung $f$ von $a$ bis $b$.

4.1.2 Lemma.
Jede monotone Funktion und jede stetige Funktion ist Riemann-integrierbar.

Man sieht leicht ein, daß monotone Funktionen nur Sprungstellen als Unstetigkeitsstellen besitzen können, und davon höchsten abzählbar viele vorhanden sein können.

Beweis. (1) O.B.d.A. sei $f$ monoton wachsend. Weiters sei eine Zerlegung $\mathcal{Z}$ von $[a,b]$ durch $a=t_0<t_1<\dots<t_N=b$ gegeben mit $t_i:=a+i\frac{b-a}{N}$, also $\mathcal{Z}=\{I_1,\dots,I_N\}$ mit $I_i:=[t_{i-1},t_i]$. Dann ist $\sup f(I_i)=f(t_i)$ und $\inf f(I_i)=f(t_{i-1})$ also ist $O(f,\mathcal{Z})-U(f,\mathcal{Z})=\sum_{i=1}^N (f(t_i)-f(t_{i-1}))\,\frac{b-a}{N} =(f(b)-f(a))\,\frac{b-a}{N}\to 0$ für $N\to{\infty}$.

(2) Sei nun $f$ stetig, dann ist $f$ gleichmäßig stetig nach 2.3.5, also existiert zu $\varepsilon >0$ ein $\delta >0$ mit $\vert f(x)-f(y)\vert\leq\varepsilon$ für $\vert x-y\vert\leq \delta$. Sei nun $\mathcal{Z}$ eine äquidistante Zerlegung wie zuvor mit Schrittweite $\vert t_i-t_{i-1}\vert\leq \delta$. Für $J\in\mathcal{Z}$ ist dann $\sup f(J)-\inf f(J)=\sup\{f(x)-f(y):x,y\in J\}\leq\varepsilon$ und somit $O(f,\mathcal{Z})-U(f,\mathcal{Z})\leq\sum_{j=1}^N \varepsilon \,\vert J_j\vert=\varepsilon \,(b-a)$. Also gilt $O(f)=U(f)$.     []

4.1.3 Beispiele.

1. Für konstante Funktionen $f:x\mapsto c$ ist $U(f,\mathcal{Z})=(b-a)\,c=O(f,\mathcal{Z})$ und somit $\int_a^b f(x)\,dx=c$.
2. Für lineare Funktionen $f:x\mapsto c\,x$ mit $c>0$ und $\mathcal{Z}$ gegeben durch $a=t_0<\dots<t_n=b$ ist

   $$U(f,\mathcal{Z}) =\sum_{j=1}^n (t_j-t_{j-1})\,c\,t_{j-1}$$

   $$U(f,\mathcal{Z}) =\sum_{j=1}^n (t_j-t_{j-1})\,c\,t_{j}$$

   
   
   und somit

   $$\frac12\Bigl(U(f,\mathcal{Z})+O(f,\mathcal{Z})\Bigr) =\frac12 \sum_{j=1}^n (t_j-t_{j-1})\,c\,(t_{j}+t_{j-1})$$

   $$=\frac{c}{2} \sum_{j=1}^n (t_j^2-t_{j-1}^2)= \frac{c}{2}\,(b^2-a^2)$$

   
   
   Dies ist $\int_a^b f(x)\,dx$, denn $U(f,\mathcal{Z})-O(f,\mathcal{Z})<\varepsilon$, wenn $\mathcal{Z}$ äquidistant mit hinreichend kleiner Schrittweite wie im Beweis von 4.1.2 gewählt wird.

Ein Kriterium für die Integrierbarkeit ist folgender Satz den wir ohne Beweis angeben.

4.1.4 Lebesgue'sches Integrabilitätskriterium.
Eine beschränkte Funktion ist genau dann Riemann-integrierbar wenn die Menge der Punkte $x$ in denen sie unstetig ist eine Lebesgue-Nullmenge ist.

Dabei heißt eine Teilmenge $M\subseteq \mathbb{R}$ heißt Lebesgue-Nullmenge wenn zu jedem $\varepsilon >0$ abzählbar viele Intervalle $(I_i)_{i\in\mathbb{N}}$ existieren, s.d. $M\subseteq \bigcup_{i\in\mathbb{N}}I_i$ und $\sum_{i=0}^{\infty}\vert I_i\vert<\varepsilon$ ist.

Z.B. ist jede abzählbare Menge eine Nullmenge, denn sei $M=\{t_i:i\in\mathbb{N}\}$ und $I_i:=[t_i-\frac\varepsilon {2^i},t_i+\frac\varepsilon {2^i}]$. Dann ist $M\subseteq \bigcup_{i\in\mathbb{N}}I_i$ und $\sum_{i\in \mathbb{N}}\vert I_i\vert= \sum_{i=0}^{\infty}\frac{\varepsilon }{2^{i-1}}=4\varepsilon$.

4.1.5 Beispiel.
Die Dirichlet'sche Sprungfunktion $\chi _\mathbb{Q}$ ist überall unstetig, also auf $[0,1]$ nicht integrierbar.

Hingegen ist die Funktion $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ welche gegeben ist durch

$$f:x\mapsto \left\{\begin{array}{ll} \frac1q&\t... ...teilerfreien $p$ und $q$} \\ 0 &\text{andernfalls,} \end{array}\right.$$

Riemann-integrierbar über $[0,1]$, denn sie ist nur in den rationalen Punkten unstetig.

4.1.6 Lemma.
Die Riemann-integrierbare Funktionen bilden einen Vektorraum. Integrieren ist linear.

Beweis. Es ist $\sup f(J)+\sup g(J)\geq \sup(f+g)(J)\geq \inf (f+g)(J)\geq \inf f(J)+\inf g(J)$, also $O(f,\mathcal{Z})+O(g,\mathcal{Z})\geq O(f+g,\mathcal{Z})\geq U(f+g,\mathcal{Z})\geq U(f,\mathcal{Z})+U(g,\mathcal{Z})$ und somit ist $U(f+g)=O(f+g)$ falls $f$ und $g$ integrierbar sind.     []

4.1.7 Lemma.
Produkte Riemann-integrierbarer Funktionen sind Riemann-integrierbar. Ebenso beschränkte Quotienten.

Beachte jedoch, daß dies keine Formel zur Berechnung des Integrals eines Produktes aus jenen der Teile liefert.

Beweis. Dies folgt leicht aus dem Lebesgue'schen Integrabilitätskriterium 4.1.4.     []

4.1.8 Lemma.
Integrieren ist additiv in den Grenzen.

Beweis. Es seien $\mathcal{Z}_-$ und $\mathcal{Z}_+$ Zerlegungen der Intervalle $[a,b]$ und $[c,d]$. Dann ist $\mathcal{Z}:=\mathcal{Z}_-\cup\mathcal{Z}_+$ eine Zerlegung von $[a,c]$ und somit $U(f,\mathcal{Z}_-)+U(f,\mathcal{Z}_+)=U(f,\mathcal{Z})\leq O(f,\mathcal{Z}) =O(f,\mathcal{Z}_-)+O(f,\mathcal{Z}_+)$ also $O(f\vert _{[a,b]})+O(f\vert _{[c,d]})\geq O(f)\geq U(f)\geq U(f_{[a,b]})+U(f\vert _{[c,d]})$.     []

4.1.9 Lemma.
Integrieren ist monoton.

Beweis. Aus $f\leq g$ folgt $U(f,\mathcal{Z})\leq U(g,\mathcal{Z})$ und $O(f,\mathcal{Z})\leq O(g,\mathcal{Z})$ und somit $O(f)=U(f)\leq O(g)=U(g)$.     []

4.1.10 Mittelwertsatz der Integralrechnung.
Es sei $m\leq f(x)\leq M$ für alle $x\in[a,b]$ und $f$ integrierbar. Dann ist $m\,(b-a)\leq \int_a^b f\leq M\,(b-a)$.

Beweis. Dies folgt aus 4.1.9, da $\int_a^b m=(b-a)\,m$.     []