4.4 Gewöhnliche Differentialgleichungen

4.4.1 Definition.
Unter einer gewöhnlichen Differentialgleichung 1.ter Ordnung versteht man eine Gleichung der Form

$$x'(t) = f(t,x(t))$$

$$x(t_0) = x_0$$

wo $f:\mathbb{R}\times E\supseteq I\times U\to E$ für ein offenes Intervall $I$ in $\mathbb{R}$, welches $t_0$ enthält und eine offene Umgebung $U$ von $x_0$ in einem endlich dimensionalen Vektorraum $E$ und wobei die Lösung $x:I\supseteq J\to U\subseteq E$ eine differenzierbare Kurve auf einen offenen Intervall $J$ sein soll, welches $t_0$ enthält.

4.4.4 Picard-Lindelöf Theorem.
Es sei $f:[-a,a]\times B\to E$ stetig und bzgl. der zweiten Variable Lipschitz, wobei $B$ der abgeschlossene Ball im Euklidischen Raum $E$ mit Mittelpunkt $x_0$ und Radius $b$ sei. Weiters, sei $a_1:=\min\{a,\frac{b}{\Vert f\Vert_{\infty}}\}$. Dann existiert eine eindeutige (iterative erhaltbare) Lösung $x':[-a_1,a_1]\to B$ der Differential-Gleichung

$$x'(t)=f(t,x(t))$$ mit $$x(0)=x_0.$$

Beweis. Aus $\Vert f(t,x_1)-f(t,x_2)\Vert\leq L\Vert x_1-x_2\Vert$ folgert man $\Vert f(t,x)-f(t,x_0)\Vert\leq L\,b$ und da $t\mapsto f(t,x_0)$ stetig ist erhalten wir $\Vert f(t,x_0)\Vert\leq \Vert f(.,x_0)\Vert_{\infty}$ und somit

$$\Vert f(t,x)\Vert \leq \Vert f(t,x)-f(t,x_0)\V... ...ert f(t,x_0)\Vert \leq L\cdot b + \Vert f(.,x_0)\Vert_{\infty}<{\infty}$$

Um den Banach'schen Fixpunkt-Satz 2.4.6 anzuwenden, übersetzen wir die Differential-Gleichung in eine äquivalente(!) Integral Gleichung auf dem abgeschlossenen Ball $X:=\{x:\Vert x(t)-x_0\Vert\leq b\}$ des vollständig metrischen Raumes $C([-a_1,a_1],E)$.
$(\Rightarrow)$ Aus $x'(t)=f(t,x(t))$ und $x(0)=x_0$ erhalten wir mittels dem Hauptsatz $x(t)-x(0)=\int_0^t x'(s)\,ds=\int_0^t f(s,x(s))\,ds$. Also ist $x(t)=x_0+\int_0^t f(s,x(s))\,ds$.
$(\Leftarrow)$ Aus $x(t)=x_0+\int_0^t f(s,x(s))\,ds$ erhalten wir

$$\frac{x(t+r)-x(t)}r=\Bigl(\int_0^{t+r} f(s,x(s))\,ds-\int_0^t f(s,x(s))ds\Bigr)/r,$$

welches gegen $f(t,x(t))$ konvergiert wegen dem ersten Hauptsatz.

Die entsprechenden Integral-Operatoren $I:x\mapsto I(x):t\mapsto x_0+\int_0^t f(s,x(s))\,ds$ lassen $X$ invariant, denn für $x\in X$ und $\vert t\vert\leq a_1$ gilt

$$\vert I(x)(t)-x_0\vert=\Bigl\vert\int_0^t f(s,x(s))\,ds\Bigr\vert \leq a_1\,\Vert f\Vert_{\infty}\leq b.$$

Und wenn man die äquivalente Norm $\Vert x\Vert:=\max\{\Vert x(t)\Vert e^{-2Lt}:t\in [-a_1,a_1]\}$ verwendet, sind sie eine $\frac12(1-e^{-La_1})$-Kontraktion, denn

$$\Bigl\vert e^{-2\,L\,t}\,(I(x_1)-I(x_2))(t)\Bigr\vert =\Bigl\vert e^{-2\,L\,t}\,\int_0^t f(s,x_1(s))-f(s,x_2(s))\,ds\Bigr\vert$$

$$\leq e^{-2\,L\,t}\,L\cdot\Bigl\vert\int_0^t \vert x_1(s)-x_2(s)\vert\,e^{-2\,L\,s}\,e^{2\,L\,s}\Bigr\vert$$

$$\leq e^{-2\,L\,t}\,L\cdot\Bigl\vert\int_0^t \Vert x_1-x_2 \Vert \,e^{2\,L\,s}\Bigr\vert$$

$$\leq e^{-2\,L\,t}\,\frac12\,\Vert x_1-x_2 \Vert \,\Bigl[e^{2\,L\,t}-1\Bigr]$$

$$\leq \frac12\,\Vert x_1-x_2 \Vert \,\Bigl[1-e^{-2\,L\,a_1}]$$

$$\leq \frac12\,\Vert x_1-x_2 \Vert.$$

Also ist der Banach'sche Fixpunktsatz anwendbar und wenn man mit einer beliebigen Funktion in $X$ z.B. der konstant $x_0$ startet und rekursiv $x_{n+1}:=I(x_n)$ definiert. Dann konvergiert $x_n$ in $X$ gegen den eindeutigen Fixpunkt $x_{\infty}$, die Lösung der Differentialgleichung.     []

4.4.5 Beispiel.
Es sei $f(t,x):=1+x^2$. Die Lösung $x$ der Differentialgleichung $x'(t)=f(t,x(t))$ mit Anfangsbedingung $x(0)=0$ können wir mittels Separation der Variablen bestimmen:

$$\frac{dx}{dt}=x' =1+x^2$$

$$\Rightarrow\quad \frac{dx}{1+x^2} = dt$$

$$\Rightarrow\quad \arctan(x)=\int\frac{dx}{1+x^2} = \int dt = t+C$$

$$\Rightarrow\quad x(t) = \tan(t+C)$$

$$=x(0)=\tan(0+C)$$ 0

$$\Rightarrow\quad C=0$$

$$\Rightarrow x(t) = \tan(t).$$

Die Lösung existiert somit nur auf den Intervall $(-\pi/2,+\pi/2)$ ganz im Unterschied zur global definierten Funktion $f$

Für lineare Differentialgleichungen hingegen passiert dieses Schrumpfen des Definitionsbereiches nicht:

4.4.6 Folgerung (Lineare Differential-Gleichung).
Es sei $f(t,x):=a(t)\cdot x+b(t)$, dann existieren die Lösungen dort wo $a:J\to L(E,E)$ und $b:J\to E$ stetig sind.    []

4.4.7 Bemerkung.

1. Falls $a\in\mathbb{R}$ konstant und $b=0$ ist, dann ist die Lösung $x(t)=x(0)\,e^{at}$. In der Tat können wir wieder Separation der Variablen durchführen und erhalten:

   $$\frac{dx}{dt}=x' =a\,x$$

   $$\Rightarrow\quad \frac{dx}{x} = a\,dt$$

   $$\Rightarrow\quad \ln(x)=\int\frac{dx}{x} = \int dt = a\,t+C$$

   $$\Rightarrow\quad x(t) = e^{at+C}$$

   $$x_0 = x(0)=e^{0+C}$$

   $$\Rightarrow\quad e^C=x_0$$

   $$\Rightarrow x(t) = e^{at+C}=e^{at}\cdot e^C=e^{at}\,x_0.$$

   
   

2. Dies gilt auch für $a\in L(E,E)$, wobei $e^a:=\exp(a):=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{a^k}{k!}$ für alle $a$ konvergiert.

3. Falls $v$ ein Eigenvektor zum Eigenwert $\lambda$ von $a$ ist, d.h. $a(v)=\lambda \,v$ gilt, so liefert eine Variation der Konstanten den Ansatz $x(t):=c(t)\,v$. Dies ist genau dann eine Lösung der Differentialgleichung $x'(t)=a(x(t))$, wenn $c'(t)\,v=x'(t)=a(v(t))=a(c(t)\,v)=c(t)\,\lambda \,v$, also $c'(t)=\lambda \,c(t)$ und somit $c(t)=c(0)\,e^{\lambda \,t}$ ist.

   Beachte, daß jede Linearkombination von Lösungen einer homogenen linearen Differentialgleichung selbst wieder eine Lösung ist. Wenn also $v_1,\dots,v_n$ Eigenvektoren von $a$ mit Eigenwerten $\lambda _1,\dots,\lambda _n$ sind, so ist auch $x(t)=\sum_{k=1}^n c_i\,e^{\lambda _i\,t}\,v_i$ eine Lösung zum Anfangswert $\sum_i c_i\,v_i$. Wenn die $v_i$ eine Basis bilden, so kann daraus jede Lösung berechnet werden.

4. Betrachten wir nun insbesonders den 2-dimensionalen Fall einer homogenen lineare Differentialgleichung
   $$\begin{pmatrix}x'(t) \\ y'(t) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a & b \\ c & d \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}x(t) \\ y(t) \end{pmatrix}$$
   Es seien $\lambda$ und $\mu$ die beiden Eigenwerte dieser $2\times 2$-Matrix $A$ und $v$ und $w$ zugehörige Eigenvektoren. Dann können die folgenden Fälle auftreten:
   • $\lambda =\mu=0$ und $v\ne w$. Dann ist $A=0$ und alle Lösungen konstant.
   • $\lambda =\mu=0$ und $v=w$. Dies ist z.B. für $a=c=d=0$, $b=1$ der Fall, also für die Differentialgleichung $x'(t)=y(t)$, $y'(t)=0$, d.h. $y(t)=y_0$ und $x(t)=x_0+t\,y_0$. Die Lösungskurven sind also affine Geraden parallel zum Eigenvektor.
   • $\lambda \ne 0=\mu$. Dies ist z.B. für $a=\lambda$, $b=c=d=0$ der Fall, also für die Differentialgleichung $x'(t)=\lambda \,x(t)$, $y'(t)=0$, d.h. $x(t)=x_0\,e^{\lambda t}$ und $y(t)=y_0$. Die Lösungskurven sind also durch die Exponentialfunktion parametrisierte Halbgeraden parallel zum Eigenvektor $v$. Je nach dem ob $\lambda >0$ oder $\lambda <0$ geht die Lösung für $t\to-{\infty}$ oder $t\to+{\infty}$ gegen die $w$-Achse.
   • $\lambda =\mu\ne 0$ und $v\ne w$. Dann ist $A=\lambda \,\operatorname{id}$ und die Lösungen sind $x(t)=x_0\,e^{\lambda t}$, $y(t)=y_0\,e^{\lambda t}$ parametrisieren also gerade die Halbstrahlen durch 0. Je nach dem ob $\lambda >0$ oder $\lambda <0$ geht die Lösung für $t\to-{\infty}$ oder $t\to+{\infty}$ gegen 0.

     

   • $\lambda =\mu\ne 0$ und $v=w$. Dies ist z.B. für $a=d=\lambda$, $b=1$, $c=0$ der Fall, also für $x'=\lambda \,x+y$, $y'=\lambda \,y$, d.h. $y(t)=y_0\,e^{\lambda \,t}$ und $x'(t)=c(t)\,e^{\lambda \,t}$ wobei $c'(t)=y_0$ ist, also $c(t)=x_0+t\,y_0$. Die Lösungskurven gehen für $t\to\pm{\infty}$ gegen 0 und ${\infty}$ und schneiden dabei die $y$-Achse zum Zeitpunkt $t:=-\frac{x_0}{y_0}$.

     

   • $\lambda >\mu>0$ oder $\lambda <\mu<0$. Dies ist z.B. für $a=\lambda$, $d=\mu$, $b=c=0$ der Fall. Die Lösungen $x(t)=x_0\,e^{\lambda t}$, $y(t)=y_0\,e^{\mu t}$ beschreiben halbe verallgemeinerte Parabeln $(x/x_0)^\mu=(y/y_0)^{\lambda }$ die tangential an $v$ liegen.

     

   • $\lambda >0>\mu$. Wie zuvor sind die Lösungen $x(t)=x_0\,e^{\lambda t}$ und $y(t)=y_0\,e^{\mu t}$ und wegen $\lambda \,\mu<0$ beschreiben diese verallgemeinerte Hyperbeln $1=(x/x_0)^{-\mu}\cdot (y/y_0)^{\lambda }$.

     

   • $\mu=\overline{\lambda }\in\mathbb{C}$ und $\Re\frak e(\lambda )=0$. Dies ist z.B. für $a=0=d$, $b=-1$, $c=1$ der Fall, also für die Differentialgleichung $x'(t)=-y(t)$, $y'(t)=x(t)$. Damit ist $x''(t)=-y'(t)=-x(t)$ und somit $x(t)=u\,\cos(t)+v\,\sin(t)$ und $y(t)=-x'(t)=u\,sin(t)-v\,cos(t)$. Dann ist $x_0=x(0)=u$ und $y_0=y(0)=-v$. Sei nun $(x_0,y_0)=r(\cos(\varphi ),\sin(\varphi ))$, dann ist $x(t)=r\,\cos(\varphi )\,\cos(t)-r\,\sin(\varphi )\,\sin(t)=r\,\cos(\varphi +t)$ und $y(t)=r\,\cos(\varphi )\,\sin(t)+r\,\sin(\varphi )\,\cos(t)=r\,\sin(\varphi +t)$. Die Lösungen parametrisieren also konzentrische Kreis um 0. Mittels der komplexen Lösungen $t\mapsto e^{\pm it}\,\binom{\pm i}{1}$ können wir das ebenfalls erhalten indem wir deren Summe $t\mapsto \binom{i(e^{it}-e^{-it})}{e^{it}+e^{-it}}=2\binom{-\sin(t)}{\cos(t)}$ bzw. das $-i$-fache der Differenz $t\mapsto \binom{i(e^{it}+e^{-it})}{e^{it}-e^{-it}}=2i\binom{\cos(t)}{\sin(t)}$ betrachten.

     

   • $\mu=\overline{\lambda }\in\mathbb{C}$ und $\Re\frak e(\lambda )\ne 0$. Dies ist z.B. für $a=c=d=1$ und $b=-1$ der Fall mit Eigenwerten $1\pm i$. Komplexe Eigenvektoren sind $(\pm i,1)$ also sind $(x(t),y(t))=e^{(1+i)t}(i,1)$ und $(x(t),y(t))=e^{(1-i)t}(-i,1)$ zwei komplexe Lösungen. Die Summe dieser Lösungen liefert $e^t(-\sin(t),\cos(t))$ und die Differenz $i\,e^t(\cos(t),\sin(t))$. Also ist die reelle Lösung mit Anfangswert $r(\cos(\varphi ),\sin(\varphi ))$ durch $t\mapsto r\,e^t{\cos(\varphi +t),\sin(\varphi +t)}$ gegeben, parametrisiert somit eine Spirale die für $t\to\pm{\infty}$ gegen 0 bzw. ${\infty}$ konvergiert und dabei unendlich oft um 0 herumläuft.

     

5. Ist $a:J\to\mathbb{R}$ beliebig, dann folgt aus $\frac{dx}{dt}=x'(t) = a(t)\,x(t)$ formal $\ln(x)=\int \frac1{x}\,dx=\int a(t)\,dt$ und somit
   $$x(t) = e^{\int a(t)\,dt}.$$
   Einsetzen zeigt, daß dies in der Tat die Lösung der Differentialgleichung ist.

6. Ist $b$ beliebig, so erhält man die Lösung $y$ der inhomogenen Gleichung $y'(t)=a(t)\,y(t)+b(t)$ durch Variation der Konstanten der Lösung $x$ der homogenen Gleichung $x'(t)=a(t)\,x(t)$, d.h. $y(t):=c(t)\,x(t)$. Dann ist

   $$y'(t) = c(t)\,x'(t)+c'(t)\,x(t)= c(t)\,a(t)\,x(t)+c'(t)\,x(t)$$

   $$= a(t)\,y(t) + c'(t)\,x(t),$$

   
   
   also $c'(t)=\frac{b(t)}{x(t)}$, d.h. $c(t)=\int \frac{b(t)}{x(t)}\,dt$.

7. Ist $x'(t)=f(x(t))$ eine Zeit-unabhängige Differentialgleichung und $f(x_0)=0$, so ist $x:t\mapsto x_0$ eine stationäre Lösung ein sogenannter Fixpunkt. Indem man die Ableitung $A:=f'(x_0)$ von $f$ betrachtet, kann man im generische Fall zeigen, daß sich die Lösungen der Differentialgleichung $x'(t)=f(x(t))$ nahe $x_0$ im wesentlichen so wie jene der linearen Differentialgleichung $x'(t)=A\cdot x(t)$ verhalten.

Folgerung.
Das Theorem 4.4.3 gilt auch für Zeit-abhängige Differential-Gleichungen mit allgemeiner Anfangsbedingung

$$x'(t) = f(t,x(t),p)$$ und $$x(s)=y.$$

Beweis. Es sei $x_{p,y,s}$ eine Lösung von

$$x'(t) = f(t,x(t),p)$$ und $$x(s)=y.$$

Wir betrachten für

$$\bar x(t,p,y,s):= x(s+t,p,y,s)-y = x_{p,y,s}(t+s) - y$$

die Differential-Gleichung

$$\frac{\d }{\d t} \bar x(t,p,y,s) = \frac{\d }{\d t} \Bigl(x(s+t,p,y,s) - y\Bigr)$$

$$= f(s+t,x(s+t,p,y,s),p) = f(s+t,\bar x(t,p,y,s)+y,p)$$

$$\bar f(t,\bar x,p,y,s) := f(s+t,\bar x+y,p)$$

mit Anfangswert $\bar x(0,p,y,s)=x(s,p,y,s)-y=0$. Also ist das Problem auf eine Zeit-abhängige Gleichung mit spezieller Anfangsbedingung $0\mapsto 0$ und Parameter $(p,y,s)\in P\times E\times \mathbb{R}$ reduziert.     []

4.4.9 Bemerkung. Differentialgleichungen höherer Ordnung.
Unter einer Differentialgleichung $n$-ter Ordnung versteht man eine Gleichung der Form

$$x^{(n)}(t) = f(t,x(t),x'(t),\dots,x^{(n-1)}(t)),$$

wobei $f$ eine lokal definierte Abbildung $\mathbb{R}\times E^n\to E$ ist und die Lösung $x$ lokal $\mathbb{R}\to E$ $n$-mal differenzierbar sein soll.

Wenn man $y_0(t):=x(t)$, $y_1(t):=x'(t)$, ..., $y_{n-1}(t):=x^{(n)}(t)$ für eine Lösung $x$ setzt. Dann ist $y:t\mapsto (y_0(t),\dots,y_{n-1}(t))$ eine Lösung der gewöhnlichen Differentialgleichung 1. Ordnung:

$$y'(t) = g(t,y(t)),$$

wobei $g:\mathbb{R}\times E^n\to E^n$ gegeben ist durch

$$g(t,y_0,\dots,y_{n-1}) := \Bigl(y_0,\dots,y_{n-2},f(t,y_0,\dots,y_{n-1})\Bigr).$$

Umgekehrt liefert auch jede Lösung $y=(y_0,\dots,y_{n-1})$ von $y'(t)=g(t,y(t))$ eine Lösung $x:=y_0$ von $x'(t)=f(t,x(t),\dots,x^{(n-1)}(t))$.

Ist insbesonders $f(t,x_0,\dots,x_{n-1}):=\sum_{k=0}^n a_k(t)\,x_k(t)$, so ist $g(t,y)$ linear in $y$ und wird durch die Matrix

$$\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & \hdots & 0 \\ \vd... ...& \hdots & 0 & 1 \\ a_0 & a_1 & \hdots & a_{n-2}& a_{n-1} \end{pmatrix}$$

gegeben. Deren Eigenwerte $\lambda$ sind gerade die Lösungen der Gleichung

$$\det \begin{pmatrix} -\lambda & 1 & 0 & \hdots... ...& 1 \\ a_0 & a_1 & \hdots & a_{n-2} & a_{n-1}-\lambda \end{pmatrix}=0$$

und somit durch Entwicklung nach der letzten Zeile von

$$= a_0\cdot 1 - a_1\cdot (-\lambda ) +-\dots +(-1)^{n-1} (a_{n-1}-\lambda )\,(-\lambda )^{n-1}$$ 0

$$= a_0 + a_1\,\lambda + a_{n-1}\,\lambda ^{n-1}-\lambda ^{n}=0.$$