4.3 Uneigentliche Integrale


4.3.1 Definition. Uneigentliche Integrale.
Wir wollen nun auch Integrale \bgroup\color{demo}$ \int_I f$\egroup behandeln, bei denen entweder der Integrand \bgroup\color{demo}$ f$\egroup oder der Integrationsbereich \bgroup\color{demo}$ I$\egroup unbeschränkt ist. In diesen Fall spricht man von uneigentlichen Integralen und definiert z.B. falls \bgroup\color{demo}$ f$\egroup bei \bgroup\color{demo}$ b$\egroup unbeschränkt aber auf jeden Teilinterval \bgroup\color{demo}$ [a,\beta ]$\egroup von \bgroup\color{demo}$ I:=[a,b]$\egroup mit \bgroup\color{demo}$ a<\beta <b$\egroup Riemann-integrierbar ist:

\bgroup\color{demo}$\displaystyle \int_a^b f := \lim_{\beta \to b-} \int_{a}^{\beta } f
$\egroup

Ist andererseits \bgroup\color{demo}$ I$\egroup unbeschränkt also z.B. \bgroup\color{demo}$ b=+{\infty}$\egroup dann setzen wir

\bgroup\color{demo}$\displaystyle \int_a^{+{\infty}} f := \lim_{\beta \to+{\infty}} \int_a^{\beta } f
$\egroup


4.3.2 Beispiel.

  1. Es existiert $ \int_0^1\frac1x\,dx$ nicht, da $ \lim_{t\to 0+}\int_t^1\frac1x\,dx=\lim_{t\to 0+}\ln(1)-\ln(t)=+{\infty}$.
  2. Ebenso existiert $ \int_1^{+{\infty}}\frac1x\,dx$ nicht, da $ \lim_{t\to+{\infty}}\int_1^t \frac1x\,dx =\lim_{t\to+{\infty}}\ln(t)-\ln(1)=+{\infty}$.
  3. Es existiert $ \int_0^1\frac1{x^\alpha }\,dx$ falls $ 0<\alpha <1$, denn

    $\displaystyle \lim_{t\to 0+}\int_t^1\frac1{x^\alpha }\,dx=\lim_{t\to
0+}\frac1{1-\alpha }-\frac{1}{(1-\alpha )t^{\alpha -1}}=\frac1{1-\alpha }.
$

  4. Es existiert $ \int_1^{+{\infty}}\frac1{x^\alpha }\,dx$ falls $ 1<\alpha $, denn

    $\displaystyle \lim_{t\to +{\infty}}\int_1^t\frac1{x^\alpha }\,dx=\lim_{t\to+{\infty}}
\frac{1}{(1-\alpha )t^{\alpha -1}}-\frac1{1-\alpha }=\frac1{\alpha -1}.
$

  5. Es ist

    $\displaystyle \int_0^1\frac1{\sqrt{1-x^2}}\,dx
=\lim_{t\to 1-}\int_0^t \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}
=\lim_{t\to1-}\arcsin(t)=\arcsin(1)=\frac{\pi}2
$

  6. Es ist

    $\displaystyle \int_{-{\infty}}^{+{\infty}}\frac{dx}{1+x^2}$ $\displaystyle =\lim_{s\to+{\infty}}\lim_{t\to-{\infty}}\int_t^s \frac{dx}{1+x^2}$    
      $\displaystyle =\lim_{s\to+{\infty}}\lim_{t\to-{\infty}}\int_t^s \arctan(s)-\arctan(t)$    
      $\displaystyle =\frac{\pi}2-\frac{-\pi}2=\pi.$    




4.3.3 Lemma. Cauchy-Kriterium für uneigentliche Integrale.
Es existiere \bgroup\color{proclaim}$ \int_a^\beta f$\egroup für alle \bgroup\color{proclaim}$ a<\beta <b$\egroup. Dann existiert das uneigentliche Integral \bgroup\color{proclaim}$ \int_a^b f$\egroup genau dann wenn \bgroup\color{proclaim}$ \int_{\beta _1}^{\beta _2}f\to 0$\egroup für \bgroup\color{proclaim}$ \beta _1,\beta _2\to b$\egroup.




4.3.4 Proposition. Integralkriterium für Reihenkonvergenz.
Es sei \bgroup\color{proclaim}$ f:[0,+{\infty})\to [0,+{\infty})$\egroup uneigentlich Riemann-integrierbar und \bgroup\color{proclaim}$ \vert a_n\vert\leq f(x)$\egroup für \bgroup\color{proclaim}$ n\leq x\leq n+1$\egroup. Dann konvergiert \bgroup\color{proclaim}$ \sum_k a_k$\egroup absolut.

Beweis. Es ist \bgroup\color{demo}$ \sum_{k=0}^n \vert a_k\vert\leq \int_0^{n+1}f\leq \int_0^{+{\infty}}f<+{\infty}$\egroup.     []


Beispiel.
Wir haben in 4.3.2 gesehen, daß das uneigentliche Integral \bgroup\color{demo}$ \int_1^{\infty}\frac1{x^\alpha }\,dx$\egroup für \bgroup\color{demo}$ \alpha >1$\egroup existiert. Also ist \bgroup\color{demo}$ \sum_k \frac1{k^\alpha }$\egroup für diese \bgroup\color{demo}$ \alpha $\egroup konvergent.


4.3.5 Definition.
Uner der Euler'sche Gammafunktion versteht man die Funktion

\bgroup\color{demo}$\displaystyle \Gamma (x):=\int_0^{+{\infty}}e^{-t}\,t^{x-1}\,dt$\egroup für \bgroup\color{demo}$\displaystyle x>0.
$\egroup

Daß dieses uneigentliche Integral existiert, sieht man wie folgt: Es ist \bgroup\color{demo}$ t\mapsto e^{-t}\,t^{x-1}$\egroup stetig und \bgroup\color{demo}$ \int_0^1 e^{-t}\,t^{x-1}\,dt\leq \int_0^1 t^{x-1}\,dt
=\lim_{a\to 0+} \frac{t^x}{x}\vert _{t=a}^{1}=\frac{1}{x}<{\infty}$\egroup. Andererseits ist \bgroup\color{demo}$ \lim_{t\to+{\infty}} e^{-t/2}\,t^{x-1}=0$\egroup nach der Regel von L'Hospital, und somit existiert ein \bgroup\color{demo}$ C>0$\egroup mit \bgroup\color{demo}$ e^{-t/2}\,t^{x-1}\leq C$\egroup und damit

$\displaystyle \int_1^{\infty}e^{-t}\,t^{x-1}\,dt\leq \int_1^{\infty}e^{-t/2}\,C\,dt<{\infty}.$    

\bgroup\color{demo}\includegraphics[scale=.7]{pic-4-04}\egroup




4.3.6 Lemma.
Es gilt folgende Rekursionsformel für die Euler'sche Gamma-Funktion:

\bgroup\color{demo}$\displaystyle \Gamma (x+1)=x\,\Gamma (x).
$\egroup

Insbesonders ist \bgroup\color{demo}$ \Gamma (n+1):=n!$\egroup für \bgroup\color{demo}$ n\in\mathbb{N}$\egroup.

Beweis. Es ist \bgroup\color{demo}$ \Gamma (1)=\int_0^{\infty}e^{-t}\,t^0\,dt
= \lim_{\beta \to+{\infty}} -e^{-t}\vert _{t=0}^{\beta }=1$\egroup. Weiters ist

$\displaystyle \Gamma (x+1)$ $\displaystyle = \int_0^{\infty}e^{-t}\,t^{x}\,dt$    
  $\displaystyle = -e^{-t}\,t^x\vert _{t=0}^{\infty}- \int_0^{\infty}(-e^{-t})\,x\,t^{x-1}\,dt = x\, \Gamma (x).$    

    []


4.3.7 Bemerkung.
Der Hauptsatz 4.2.2 läßt sich wie folgt auf's mehrdimensionale übertragen. Wenn \bgroup\color{demo}$ f=(f_1,\dots,f_m):\mathbb{R}\supseteq I\to F=\mathbb{R}^m$\egroup ist, dann verstehen wir unter dem Riemann-Integral \bgroup\color{demo}$ \int_I f$\egroup den Vektor

\bgroup\color{demo}$\displaystyle \int_I f := \Bigl(\int_I f_1,\dots,\int_I f_m\Bigr)\in F.
$\egroup

Für stetig differenzierbares \bgroup\color{demo}$ f:I=[a,b]\to F$\egroup gilt somit \bgroup\color{demo}$ f(b)-f(a)=\int_a^b f'(t)\,dt$\egroup in \bgroup\color{demo}$ F$\egroup.

Ist nun \bgroup\color{demo}$ f:E\supseteq U\to F$\egroup \bgroup\color{demo}$ C^1$\egroup und die Strecke \bgroup\color{demo}$ \overline{a\,b}:=\{a+t(b-a)\}\subseteq U$\egroup, dann ist \bgroup\color{demo}$ c(t):=f(a+t\,(b-a))$\egroup \bgroup\color{demo}$ C^1$\egroup als Zusammensetzung mit der affinen Funktion \bgroup\color{demo}$ t\mapsto a+t\,(b-a)$\egroup und hat Ableitung \bgroup\color{demo}$ c'(t)=f'(a+t\,(b-a))\cdot(b-a)$\egroup. Nach dem Hauptsatz angewendet auf die Kurve \bgroup\color{demo}$ c$\egroup ist somit

\bgroup\color{demo}$\displaystyle f(b)-f(a)=c(1)-c(0)=\int_0^1 c'(t)\,dt = \int_0^1 f'(a+t\,(b-a))(b-a)\,dt.
$\egroup

Andreas Kriegl 2001-07-01