6.2 Integration über meßbare Mengen

6.2.1 Definition.
Es sei $B\subseteq \mathbb{R}^p$ beschränkt. Dann heißt $f:B\to\mathbb{R}$ Riemann-integrierbar (auf $B$) $:\Leftrightarrow$ für ein (alle) kompaktes mehrdimensionales Intervall $I\supseteq B$ ist die Fortsetzung $f_B:\mathbb{R}^p\to\mathbb{R}$ von $f$, die durch

$$x\mapsto \left\{\begin{array}{ll} f(x) &\text{für }x\in B \\ 0 &\text{andernfalls} \end{array}\right.$$

definiert ist, über $I$ Riemann-integrierbar. Man setzt

$$\int_B f := \int_I f_B.$$

Eine beschränkte Menge $B\subseteq \mathbb{R}^p$ heißt Jordan-meßbar $:\Leftrightarrow$ die konstante Funktion $1:B\to\mathbb{R}$ ist Riemann-integrierbar über $B$, d.h. die charakteristische Funktion $\chi _B$ ist Riemann-integrierbar über ein/jedes kompakte Intervall, welches $B$ enthält. Das Volumen oder auch Maß einer $J$-meßbaren Menge definiert man als $\vert B\vert:=\int_B 1$.

6.2.2 Proposition.
Eine Teilmenge $B\subseteq \mathbb{R}^p$ ist genau dann $J$-meßbar, wenn $B$ beschränkt und der Rand $\d B$ von $B$ eine Lebesgue-Nullmenge ist.

Unter dem Rand $\d B$ einer Menge $B$ versteht man die Menge jener Punkte, für welche jede $\varepsilon$-Umgebung sowohl Punkte aus $B$ als auch aus dem Komplement vom $B$ besitzt.

Beweis. $B$ $J$-meßbar $:\Leftrightarrow$ $\chi _B$ $R$-integrierbar über ein hinreichend großes Intervall $I$ $\Leftrightarrow$ die Menge $\Delta (\chi _B)$ der Unstetigkeitspunkte ist eine Lebesgue-Nullmenge (nach 6.2.4). Wegen $\Delta (\chi _B)=\d B$.     []

6.2.3 Folgerung.
Es seien $A$ und $B$ $J$-meßbar. Dann sind auch $A\cup B$, $A\cap B$ und $A\setminus B$ $J$-meßbar.

Beweis. Es ist $\d (A\cup B)\subseteq \d (A)\cup \d (B)$. Angenommen $x\in \d (A\cup B)$ aber nicht $x\in \d (A)\cup \d (B)$. Dann trifft jede Umgebung $U$ von $x$ sowohl $A\cup B$ als auch ${\sim}(A\cup B)={\sim} A\cap{\sim} B\subseteq {\sim} A$, ${\sim} B$. Andererseits existieren zwei Umgebungen $U_A$ und $U_B$ von $x$ die $A$ bzw. $B$ nicht treffen (Die Komplemente treffen sie ja immer). Dann trifft $U:=U_A\cap U_B$ $A\cup B$ nicht, ein Widerspruch.

$$\d (A\cap B) = \d ({\sim}({\sim} A\cup {\sim} B)) = \d ({\sim} A\cup {\sim} B) \subseteq \d ({\sim} A)\cup\d ({\sim} B)$$

$$=\d (A)\cup \d (B)$$

$$\d (A\setminus B) =\d (A\cap{\sim} B) \subseteq \d (A)\cup\d ({\sim} B) =\d (A)\cup\d (B).{\rm\quad[]}$$

6.2.4 Lebesgue'sches Integrabilitätskriterium.
Es sei $B$ $J$-meßbar. Dann ist eine beschränkte Funktion $f:B\to\mathbb{R}$ genau dann $R$-integrierbar, falls $f$ fast überall stetig auf $B$ ist.

Beweis. Es sei $I$ ein Intervall, welches $B$ im Inneren enthält. Dann ist $f:B\to\mathbb{R}$ $R$-integrierbar $:\Leftrightarrow$ $f_B:I\to \mathbb{R}$ ist $R$-integrierbar $\Leftrightarrow$ die Menge $\Delta (f_B)$ ist eine Lebesgue-Nullmenge (nach 6.1.2) $\Leftrightarrow$ $\Delta (f_B)\cup \d B=\Delta (f)\cup \d B$ ist eine Lebesgue-Nullmenge $\Leftrightarrow$ $\Delta (f)$ ist Lebesgue-Nullmenge.     []

6.2.5 Folgerung.
Es sei $B\subseteq \mathbb{R}^p$ $J$-meßbar und $f$ und $g$ $R$-integrierbar auf $B$ und $\lambda \in\mathbb{R}$. Dann ist $f+\lambda g$ $R$-integrierbar auf $B$ und $\int_B (f+\lambda g)=\int_B f+\lambda \int_B g$. Weiters sind $\vert f\vert$, $\max\{f,g\}$, $\min\{f,g\}$ und $f\cdot g$ allesamt $R$-integrierbar auf $B$.

$$\biggl\vert\int_B f\biggr\vert \leq \int_B \vert f\vert.$$

Falls $\exists\gamma >0\forall x:\vert g(x)\vert\geq\gamma$, so ist auch $f/g$ $R$-integrierbar auf $B$. Und aus $f\geq g$ folgt $\int_B f\geq \int_B g$.    []

6.2.6 Mittelwertsatz.
Es sei $B\subseteq \mathbb{R}^p$ $J$-meßbar und $f$ $R$-integrierbar auf $B$. Dann ist

$$\vert B\vert\, \inf(f(B)) \leq \int_B f \leq \vert B\vert\, \sup(f(B)).{\rm\quad[]}$$

6.2.7 Folgerung.
Es sei $N$ eine $J$-Nullmenge, d.h. $N$ ist $J$-meßbar und $\vert N\vert=0$. Dann ist jede beschränkte Funktion $f:N\to\mathbb{R}$ $R$-integrierbar mit $\int_N f=0$.

Beweis. Wegen $\Delta (f)\subseteq N$ ist $f$ $R$-integrierbar nach dem Lebesgue'schen Integrabilitätskriterium 6.2.4. Wegen dem Mittelwertsatz 6.2.6 ist $0=\inf\, f(N)\,\vert N\vert\leq \int_N f\leq \sup\, f(N)\,\vert N\vert=0$, also $\int_N f=0$.     []

6.2.8 Proposition.

$B\subseteq \mathbb{R}^p$ $J$-meßbar $\Leftrightarrow$ $B$ ist beschränkt und $\d B$ ist $J$-Nullmenge.

Beweis. Kompakte Mengen sind genau dann Lebesgue-Nullmengen, wenn sie Jordan-Nullmengen sind. Sei nämlich $N$ eine kompakte Lebesgue-Nullmenge, $\varepsilon >0$ und $\{I_k:k\in\mathbb{N}\}$ eine Menge von Intervallen die $N$ überdecken mit $\sum_k \vert I_k\vert<\frac{\varepsilon }2$. Indem wir das $k$-te Intervall $I_k$ zu einen Intervall $J_k$ aufblasen mit $\vert J_k\vert\leq \vert I_k\vert+\frac{\varepsilon }{2^{k+1}}$ erhalten wir eine Überdeckung mit offenen Quadern mit Gesamtvolumen $\leq\sum_k \vert J_k\vert<\frac{\varepsilon }2+\frac{\varepsilon }2=\varepsilon$. Da $N$ kompakt ist genügen endlich viele.     []

6.2.9 Folgerung.
$f:B\to\mathbb{R}$ $R$-integrierbar, $A\subseteq B$ beide $J$-meßbar $\Rightarrow$ $f\vert _A:A\to\mathbb{R}$ $R$-integrierbar.    []

6.2.10 Proposition.
Es sei $f:A\cup B\to\mathbb{R}$ $R$-integrierbar auf den $J$-meßbaren Mengen $A$ und $B$. Dann ist

$$\int_A f + \int_B f = \int_{A\cup B}f + \int_{A\cap B} f.$$

Beweis. 6.2.3 $\Rightarrow$ $A\cup B$, $A\cap B$ $J$-meßbar; $f$ ist beschränkt auf $A$ und $B$ also auf $A\cup B$. $\Delta (f)\subseteq\Delta (f\vert _A)\cup \Delta (f\vert _B)\cup \d A\cup \d B$. 6.2.4 $\Rightarrow$ $f$ $R$-integrierbar auf $A\cup B$; 6.2.9 $\Rightarrow$ $f$ $R$-integrierbar auf $A\cap B$.

Wegen

$$f_A + f_B = f_{A\cup B} + f_{A\cap B}$$

(Beweis mittels Fallunterscheidung: $x\in A\cap B$, $x\in A\setminus B$, $x\in B\setminus A$, $x\notin A\cup B$) ist

$$\int_A f + \int_B f = \int_I f_A + \int_I f_B = \int_I (f_A+f_B)$$

$$= \int_I (f_{A\cup B}+f_{A\cap B}) =\int_I f_{A\cup B}+ \int_I f_{A\cap B} = \int_{A\cup B} f + \int_{A\cap B} f.{\rm\quad[]}$$

6.2.11 Folgerung.
Es seien $A$, $B\subseteq \mathbb{R}^q$ $J$-meßbar $\Rightarrow$ $\vert A\vert + \vert B\vert = \vert A\cup B\vert + \vert A\cap B\vert$.
$A\subseteq B$ $\Rightarrow$ $\vert A\vert\leq \vert B\vert$.    []