6.3 Integrationsmethoden

6.3.1 Proposition.
$B\subseteq \mathbb{R}^p$ $J$-meßbar, $f:B\to\mathbb{R}$ $R$-integrierbar $\Rightarrow$ $\operatorname{graph}(f):=\{(x,f(x)):x\in B\}$ ist $J$-Nullmenge in $\mathbb{R}^p\times \mathbb{R}$.

Beweis. Es sei $I\supseteq B$ ein Intervall, $\varepsilon >0$ und $Z$ eine Zerlegung von $I$ mit $O(f_B,Z)-U(f_B,Z)<\varepsilon$. Es liegt $\operatorname{graph}(f)$ in der Vereinigung $\bigcup_{J\in Z} J\times [\inf f_B(J),\sup f_B(J)]$ mit $\sum_{J\in Z} \vert J\times [\inf f_B(J),\sup f_B(J)]\vert\... ...Z}\vert J\vert\,(\sup f_B(J)-\inf f_B(J))=O(f_B,Z)-U(f_B,Z),\varepsilon$, also ist $\operatorname{graph}(f)$ eine $J$-Nullmenge.     []

6.3.2 Folgerung.
$B\subseteq \mathbb{R}^p$ $J$-meßbar, $f_1,f_2:B\to \mathbb{R}$ $R$-integrierbar, $f_1\leq f_2$ $\Rightarrow$ Die Ordinatenmenge $M:=M(f_1,f_2):=\{(x,y):x\in B,f_1(x)\leq y\leq f_2(x)\}$ mit Grenzen $f_1,f_2$ ist $J$-meßbar in $\mathbb{R}^p\times \mathbb{R}$ und

$$\vert M(f_1,f_2)\vert=\int_B (f_2-f_1).$$

Weiters ist jede stetige und beschränkte Funktion $f:M\to\mathbb{R}$ $R$-integrierbar auf $M$ und

$$\int_M f(x,y) \, d(x,y) = \int_B \int_{f_1(x)}^{f_2(x)} f(x,y)\,dy\,dx.$$

Dies zeigt, daß die Definition 6.2.1 der Fläche als $\vert M\vert:=\int_I \chi _M$ mit jener aus 4.1.1 als $\int_B f_2-\int_B f_1$ verträglich ist.

Beweis. $\d M(f_1,f_2)\subseteq (\d B\cup \Delta (f_1)\cup\Delta (f_... ..._1,\sup f_2] \cup\operatorname{graph}(f_1) \cup\operatorname{graph}(f_2)$, eine $J$-Nullmenge nach 6.2.8, 6.2.4 und 6.3.1. $\Rightarrow$ $M(f_1,f_2)$ $J$-meßbar.

Es sei $B\subseteq I$, dann ist

$$\int_M f = \int_{I\times [\inf f_1,\sup f_2]} f_M \AMSoverset{\text{Fubini}}\to= \int_I \int_{\inf f_1}^{\sup f_2}f_M(x,y)\,dy\,dx$$

$$= \int_I \biggl(\int_{f_1(x)}^{f_2(x)} f(x,y)\,dy\biggr)_B\,dx = \int_B \int_{f_1(x)}^{f_2(x)} f(x,y)\,dy\,dx.$$

Und speziell für $f=1$ ist

$$\vert M(f_1,f_2)\vert = \int_M 1 = \int_B \int_{f_1(x)}^{f_2(x)} 1\,dy\,dx= \int_B f_2-f_1. {\rm\quad[]}$$

Beispiel.
Die Fläche $\vert K\vert$ einer Kreisscheibe $K:=\{(x,y):x^2+y^2\leq r^2\}$.

Für $B:=[-r,r]$, $f_1:x\mapsto -\sqrt{r^2-x^2}$, $f_2:x\mapsto \sqrt{r^2-x^2}$ ist

$$\vert K\vert \AMSoverset{\text{6.3.2}}\to= \int_B f_1-f_2 = \int_{-r}^r 2\sqrt{r^2-x^2}\,dx$$

$$\AMSoverset{x=r\sin(y)}\to= 2\int_{-\frac\pi2}^{\frac\pi2} \sqrt{r^2-r^2\sin(y)^2}\,r\,\cos(y)\,dy$$

$$= 2r^2 \int_{-\frac{\pi}2}^{\frac{\pi}2} \cos(y)^2\,dy = 2r^2 \int_{-\frac{\pi}2}^{\frac{\pi}2} \frac{\cos(2y)-1}2\,dy$$

$$= 2r^2 \left[\frac{\sin(2y)}4-\frac{y}2\right]_{y=-\frac{\pi}2}^{y=\frac\pi2} = r^2 \pi$$

6.3.3 Formel von Cavaleri.
Es sei $M\subseteq [a,b]\times \mathbb{R}^p$ $J$-meßbar, und für alle $x\in[a,b]$ sei $M_x := M\cap (\{x\}\times \mathbb{R}^p)$ $J$-meßbar. Dann ist $x\mapsto \vert M_x\vert$ auf $[a,b]$ $R$-integrierbar und

$$\vert M\vert = \int_a^b \vert M_x\vert\,dx$$

Falls $M\subseteq [a,b]\times \mathbb{R}^2$ Rotations-symmetrisch bzgl. der $x$-Achse ist, so sind die $M_x$ Kreisscheiben mit sagen wir Radius $r(x)$ und somit Fläche $\vert M_x\vert=r(x)^2\pi$.

Das Volumen von $M$ ist somit

$$\vert M\vert = \int_a^b \vert M_x\vert\,dx = \pi\,\int_a^b r(x)^2\,dx.$$

Beweis. Es ist $M\subseteq [a,b]\times J$ für einen Quader $J$. Also gilt

$$\vert M\vert = \int_{[a,b]\times J} \chi _M \AMSoverset{\text{Fubini}}\to = \int_a^b \int_J \chi _M(x,y)\,dy\, dx$$

$$= \int_a^b \int_J \chi _{M_x}(y)\,dy\, dx = \int_a^b \vert M_x\vert\,dx {\rm\quad[]}$$

Beispiel.
Das Volumen der Kugel $K:=\{(x,y,z):x^2+y^2+z^2\}$. Es ist $K\subseteq [-r,r]\times \mathbb{R}^2$ $J$-meßbar(!) und $K_x:=\{(y,z):(x,y,z)\in K\}$ eine Kreisscheibe mit Radius $\sqrt{r^2-x^2}$ und somit Fläche $\vert K_x\vert = (r^2-x^2)\pi$. Nach 6.3.3 ist also

$$\vert K\vert = \int_{-r}^r \vert K_x\vert\,dx ... ... \pi\Bigl[r^2 x -\frac{x^3}3 \Bigr]_{x=-r}^{x=r} = \frac{4 r^3 \pi}{3}.$$

6.3.4 Lemma.
Es sei $g:\mathbb{R}^p\supseteq N\to \mathbb{R}^p$ eine Lipschitz-Abbildung mit Konstante $L$. Für jeden (achsenparallelen) Würfel $I$ mit Seitenlänge $s$ der $N$ trifft existiert ein Würfel $J$ mit $f(I\cap N)\subseteq J$ und $\vert J\vert\leq (2\,L)^p \vert I\vert$.

Der Fall $g:\mathbb{R}^p\supseteq N\to \mathbb{R}^q$ mit $q>p$ ist trivial, denn für $J$-meßbares $N\subseteq \mathbb{R}^p$ ist $\tilde N:=N\times \{0\}$ in $\mathbb{R}^p\times \mathbb{R}^{q-p}$ eine $J$-Nullmenge und $\tilde g:\mathbb{R}^q\supseteq \tilde N\to\mathbb{R}^q$ definiert durch $\tilde g(x,y):=g(x)$ ist Lipschitz mit $\tilde g(\tilde N)=g(N)$.

Beweis. Es sei $x_0\in I\cap N$ für jedes $x\in N\cap I$ gilt $\Vert x-x_0\Vert _{\infty}\leq s$. Also ist $\Vert g(x)-g(x_0)\Vert _{\infty}\leq L\Vert x-x_0\Vert _{\infty}\leq L\,s$, d.h. $g(x)$ liegt im Würfel $J$ um $g(x_0)$ mit Seitenlänge $2\,L\,s$. Dieser hat Volumen

$$\vert J\vert \leq (2\,L\,s)^p = (2\, L)^p\, \vert I\vert \leq (2\,L)^p \vert I\vert {\rm\quad[]}$$

6.3.5 Folgerung.
Lipschitz stetige Bilder von $J$-Nullmengen sind $J$-Nullmengen, d.h. $g(N)$ ist eine $J$-Nullmenge, falls $N$ eine ist und $g:\mathbb{R}^p\supseteq N\to \mathbb{R}^p$ Lipschitz-stetig ist.

Dieses Resultat stimmt auch noch, wenn $f:\mathbb{R}^p\supseteq N\to\mathbb{R}^q$ mit $p\leq q$, denn für $p<q$ und $J$-meßbares $N\subseteq \mathbb{R}^p$ ist $\tilde N:=N\times \{0\}\subseteq \mathbb{R}^p\times \mathbb{R}^{q-p}$ eine $J$-Nullmenge, $\tilde f:\tilde N\to\mathbb{R}^q$ definiert durch $\tilde f(x,y):=f(x)$ ist Lipschitz, also $\tilde f(\tilde N)=f(N)$ eine $J$-Nullmenge.

Beweis. Es ist $\int_I \chi _N=0$ für einen kompakten Würfel, der $N$ umfaßt. Für $\varepsilon >0$ sei $Z$ eine äqui-distante Zerlegung mit

$$\varepsilon > \vert O(\chi _N,Z)\vert = \sum_{J\cap N\ne\emptyset} \vert J\vert.$$

Für jeden solchen Würfel $J$ wählen wir nach 6.3.4 einen Würfel $J'$ mit $g(J\cap N)\subseteq J'$ und $\vert J'\vert\leq (2L)^p \vert J\vert$. Dann überdecken die $J'$ ganz $g(N)$ und ihr gesamt-Volumen ist kleiner als $(2L)^p\varepsilon$, also ist $g(N)$ eine 0-Menge.     []

Definition.
Eine Abbildung $f:\mathbb{R}^p\supseteq X\to \mathbb{R}^q$ auf einer beliebigen Teilmenge $X$ von $\mathbb{R}^p$ heißt $C^1$ (stetig differenzierbar) $:\Leftrightarrow$ $\exists \tilde f:\mathbb{R}^p\supseteq U\to \mathbb{R}^q$ $C^1$ mit $U\supseteq X$ offen.

6.3.6 Proposition.
Es sei $g:\mathbb{R}^p\supseteq N\to \mathbb{R}^p$ $C^1$ und $N$ eine kompakte $J$-Nullmenge. Dann ist $g(N)$ eine $J$-Nullmenge.

Beweis. Wegen 6.3.5 genügt zu zeigen, daß $g$ auf $N$ Lipschitz ist. Angenommen $\exists x_n\ne y_n\in N$ mit $\frac{\Vert g(x_n)-g(y_n)\Vert}{\Vert x_n-y_n\Vert}\to {\infty}$. Da $N$ kompakt ist, dürfen wir annehmen, daß $\exists x_{\infty}:= \lim_n x_n$. Da $g(N)$ kompakt und somit beschränkt ist muß $\lim_n y_n=x_{\infty}$ sein. In der Nähe von $x_{\infty}$ ist die $C^1$-Abbildung $\tilde g$ aber Lipschitz wegen des Hauptsatzes, da $g'$ lokal beschränkt ist.     []

6.3.7 Satz.
Es sei $B\subseteq \mathbb{R}^p$ kompakt $J$-meßbar und $g:B\to \mathbb{R}^p$ $C^1$. Es sei $N\subseteq B$ eine $J$-Nullmenge mit $g'(x)$ invertierbar für alle $x\in B\setminus N$. Dann ist $g(B)$ $J$-meßbar.

Falls $g$ zu einem Diffeomorphismus auf eine Umgebung von $B$ erweiterbar ist, so ist dieser Satz trivial, denn dann ist $\d g(B)=g(\d B)$ eine $J$-Nullmenge nach 6.3.6.

Beweis. $B$ $J$-meßbar $\AMSoverset{\text{6.2.8}}\to{\Rightarrow}$ $\d B$ $J$-Nullmenge $\Rightarrow$ O.B.d.A. $N\supseteq \d B$. 6.3.6 $\Rightarrow$ $g(N)$ $J$-Nullmenge, kompakt, $\d g(B)\subseteq g(B)=g(N)\cup g(B\setminus N)$. Angenommen $\d g(B)\cap g(B\setminus N)\ne\emptyset$, i.e. $\exists$ $x\in B\setminus N \subseteq B^o$ mit $g'(x)$ invertierbar (also ist $g$ ein lokaler Diffeomorphismus) und $g(x)\in g(B)^o\subseteq {\sim} \d g(B)$. Also ist $\d g(B)\subseteq g(N)$ eine $J$-Nullmenge $\AMSoverset{\text{6.2.8}}\to{\Rightarrow}$ $g(B)$ $J$-meßbar.     []

Bemerkung.
Stetige Bilder von Nullmengen sind nicht immer Nullmengen.

6.3.8 Substitutionsregel.
Es sei $B$ ein Quader, $g:\mathbb{R}^2\supseteq B\to\mathbb{R}^2$ $C^1$ und $f:g(B)\to \mathbb{R}$ stetig. Sei weiters eine Zerlegung $Z$ von $B$ vorgegeben. Das Bild eines Teilungsrechtecks $I_{i,j}:=[t_i,t_i+1]\times [s_j,s_{j+1}]$ hat annähernd die Fläche des von $g(t_{i+1},s_j)-g(t_{i},s_j)$ und $g(t_i,s_{j+1})-g(t_i,s_j)$ erzeugten Parallelogramms, also

$$\begin{multline*} \det( g(t_{i+1},s_j)-g(t_{i},s_j), g(t_i,s_{j+1})-g(t_i,s_j)) ... ...t_i,s_j)) = \\ = (t_{i+1}-t_i)(s_{j+1}-s_j)\det( g'(t_i,s_j) ). \end{multline*}$$

Beachte daß die Fläche des von zwei Vektoren $a$ und $b$ erzeugten Parallelogramms gerade die Länge des einen Vektors $a$ mal der Länge $\langle b,\frac1{\Vert a^\perp}a^\perp\rangle$ der Projektion des anderen Vektors $b$ auf dem Normalvektor $a^\perp$ ist, also gerade $\vert a\vert\cdot \langle b,\frac1{\Vert a^\perp}a^\perp\rangle = \langle b, a^\perp\rangle = \det(a,b)$. Somit ist

$$\int_{g(B)} f \approx \sum_{i,j} f(g(t_i,s_j))\,\vert\det(g'(t_i,s_j))\vert\,(t_{i+1}-t_i)\,(s_{j+1}-s_j)$$

$$\approx \int_B f(g(t,s))\, \vert\det(g'(t,s))\vert\, d(t,s).$$

Theorem.
$K\subseteq \mathbb{R}^p$ kompakt und $J$-meßbar, $g:K\to \mathbb{R}^p$ $C^1$, $N\subseteq K$ eine $J$-Nullmenge, $g\vert _{K\setminus N}$ injektiv, $x\mapsto \operatorname{sign}(\det(g'(x)))$ konstant und nicht 0 auf $K\setminus N$, $f:g(K)\to\mathbb{R}$ stetig.

Dann ist $g(K)$ $J$-meßbar, $f$ $R$-integrierbar auf $g(K)$ und es gilt folgende Transformationsformel

$$\int_{g(K)} f(y)\, dy = \int_{K} f(g(x))\,\vert\det(g'(x))\vert\, dx.$$

Im Falle $p=1$ und $K:=[a,b]$ ist nach der 1-dimensionalen Substitutionsformel 4.2.3

$$\int_{g(a)}^{g(b)} f(y)\,dy = \int_a^b f(g(x))\,g'(x)\,dx$$

Die rechte Seite kann auch als

$$\pm \int_K f(g(x))\,\vert det(g'(x))\vert\,dx$$

geschrieben werden, je nachdem ob $g$ monoton wachsend oder fallend ist. Die linke Seite ist $\int_{[g(a),g(b)]} f=\int_{g(K)}f$ falls $g(a)\leq g(b)$, also $g$ monoton wachsend ist, und andernfalls ist sie $-\int_{g(b)}^{g(a)}f=-\int_{[g(b),g(a)]}f=-\int_{g(K)}f$. Also stimmt die Transformationsformel für $p=1$ mit jener von 4.2.3 überein.

Bemerkung.
Vergleiche die Substitutionsregel

$$\int_{g(K)} f(y)\, dy = \int_{K} f(g(x))\,\vert\det(g'(x))\vert\, dx$$

mit jener für einfach-Integrale

$$\int_{g(a)}^{g(b)} f(y)\,dy = \int_a^b f(g(x))\,g'(x)\,dx.$$

Im 1-dimensionalen Fall $K:=[a,b]\subseteq \mathbb{R}$ ist $g'(x)\in L(\mathbb{R},\mathbb{R})\cong\mathbb{R}$, also $\det$ überflüssig, und wenn $g(a)<g(b)$ so auch der Betrag und $g(K)=[g(a),g(b)]$, also $\int_{g(K)}=\int_{g(a)}^{g(b)}$. Ist hingegen $g(a)>g(b)$, also $g'(x)<0$, so ist $\vert\det(g'(x))\vert=-g'(x)$ und $g(K)=[g(b),g(a)]$ also $\int_{g(K)}=\int_{g(b)}^{g(a)}=-\int_{g(a)}^{g(b)}$.

Polarkoordinaten.
Die Transformation von Polar- auf kartesische Koordinaten ist

$$g:(r,\varphi ) \mapsto (r\cos(\varphi ),r\sin(\varphi )).$$

Sie ist injektiv auf $(0,+{\infty})\times [0,2\pi)$ und für ihre Jacobi-Matrix gilt:

$$\det\left(\begin{matrix} \cos(\varphi ) & -r\s... ...rphi ) \end{matrix}\right) = r(\cos(\varphi )^2+\sin(\varphi )^2) = r.$$

Speziell für den Sektor $B:=\{(r,\varphi ):\varphi _1\leq\varphi \leq\varphi _2, 0\leq r\leq r(\varphi )\}$ ist

$$\vert B\vert = \int_B 1 = \int_{\varphi _1}^{\... ...\varphi _1}^{\varphi _2} \int_0^{r(\varphi )} r(\varphi )^2\,d\varphi .$$

Zylinderkoordinaten.
Die Transformation von Zylinder- auf Kartesische Koordinaten ist

$$g:(r,\varphi ,z) \mapsto (r\cos(\varphi ),r\sin(\varphi ),z).$$

Sie ist injektiv auf $(0,+{\infty})\times [0,2\pi)\times \mathbb{R}$ und für ihre Jacobi-Matrix gilt:

$$\det\left(\begin{matrix} \cos(\varphi ) & -r\s... ...& 1 \\ \end{matrix}\right) = r(\cos(\varphi )^2+\sin(\varphi )^2) = r.$$

Kugelkoordinaten.
Die Transformation von Kugel- auf Kartesische Koordinaten ist

$$g:(r,\varphi ,\th ) \mapsto (r\cos(\varphi )\cos(\th ),r\sin(\varphi )\cos(\th ),r\sin(\th )),$$

wobei $\varphi$ die geographische Länge und $\th$ die geographische Breite bezeichnet. Sie ist injektiv auf $(0,+{\infty})\times [0,2\pi)\times (-\pi/2,\pi/2)$ und für ihre Jacobi-Matrix gilt:

$$\det\left(\begin{matrix}\cos(\varphi )\cos(\th ) & -r\sin(\varphi... ...in(\varphi )\sin(\th ) \\ \sin(\th ) & 0 & r\cos(\th ) \\ \end{matrix}\right) =$$

$$\quad = \sin(\th )(r^2\sin(\varphi )^2\cos(\th )\sin(\th ) + r^2\cos(\varphi )^2\cos(\th )\sin(\th )) +$$

$$\qquad + r\cos(\th ) (r\cos(\varphi )^2\cos(\th )^2+ r\sin(\varphi )^2\cos^2\th )$$

$$\quad = r^2 (\sin(\th )^2\cos(\th ) + \cos(\th )^3) = r^2 \cos(\th ).$$