Nichtlineare Theorie verallgemeinerter Funktionen

Allgemeine Kurzbeschreibung des Arbeitsgebietes:
Das Hauptziel der nichtlinearen Theorie der verallgemeinterten Funktionen (Colombeau Algebren) ist es, drei Dinge unter einen mathematischen Hut zu bringen: (a) Nichtlineare Operationen, (b) Differentiation und (c) Singularitäten (Schocks, "Delta"-artige Phänomene etc.). Im Rahmen der "klassischen" Theorie ist das unmöglich, da muss entweder auf (a) oder auf (c) verzichtet werden. Insofern kann die Theorie als Erweiterung der Theorie der Distributionen auf nichtlineare Phänomene angesehen werden. Die technischen Hauptwerkzeuge sind Regularisierung (d.h. Glättung) der singulären Objekte mittels Faltung und asymptotische Abschätzung in Termen des Regularisierungsparameters.
Der Schwerpunkt des Wiener Zweigs der Arbeitsgruppe DIANA liegt vor allem in den geometrischen Aspekten der Theorie, der Regularitätstheorie verallgemeinereter Funktion sowie Anwendungen in mathematischer Geophysik und Relativitätstheorie. Aktuelle Teilgebiete sind unter anderem:

1. Nichtlineare distributionelle Geometrie
   • Lokale Existenzsätze in Colombeau-Algebren
   • Nichlineare distributionelle Geometrie in vollen Colombeau-Algebren
   • Weiterentwicklung der nichtlinearen distributionellen Geometrie
2. Nicht-glatte geometrische Analysis partieller Differentialoperatoren
   • Regularitätstheorie von Colombeau-Algebren
   • Lie-Gruppen-Analysis singulärer PDE's
3. Nicht-glatte Allgemeine Relativitätstheorie
   • Das Cauchy-Problem in singulären Raumzeiten
   • Verallgemeinerte Singularitätentheoreme

• Colombeau, J. F. Elementary Introduction to New Generalized Functions. North Holland, Amsterdam, 1984.
• Oberguggenberger, M. Multiplication of Distributions and Applications to Partial Differential Equations, volume 259 of Pitman Research Notes in Mathematics. Longman, Harlow, U.K., 1992.
• Grosser, M., Kunzinger, M., Oberguggenberger, M., Steinbauer, R. Geometric Theory of Generalized Functions. Kluwer, Dordrecht, 2001.