Lösung für Aufgabe 2.5.9
Beweisen Sie, dass $n^3-n$ für alle $n \in \N$ durch 6 teilbar ist.Induktionsanfang: $n=0$ $$0=0.$$ Induktionsbehauptung: Für alle $n \in \mathbb{N}$ gelte $$n^3-n=6k.$$ Induktionsschritt $n \to n+1$: Es gilt $$(n+1)^3-(n+1)=n^3+3n^2+2n=n^3-n+3n^2+3n.$$ Nach der Induktionsbehauptung gilt $n^3-n=6k$. Der Ausdruck $3n^2+3n=3n(n+1)$ ist auf alle Fälle durch $3$ teilbar. Da zusätzlich entweder $n$ oder $(n+1)$ gerade sein muss, folgt daraus, dass auch $n(n+1)$ gerade ist. Damit ist gezeigt, dass auch $3n^2+3n$ durch $6$ teilbar ist (weil es sowohl durch $2$ als auch durch $3$ teilbar ist). Daraus folgt, dass auch $$(n+1)^3-(n+1)$$ durch $6$ teilbar ist $\Box$