Lösung für Aufgabe 5.2.31
Überprüfen Sie, für welche der Verknüpfungen aus den Aufgaben 5.2.5, 5.2.6 und 5.2.7 inverse Elemente existieren.In $(\R,\otimes)$ ist es nicht sinnvoll, nach Inversen zu suchen, da kein Einselement existiert. In $(\Q,\odot)$ lässt sich für $a\neq-2$ ein Inverses finden, und zwar $a':=\frac1{9(a+2)}-2$, wie die folgende Rechnung zeigt: $$ a\odot a' = a\odot\left(\frac1{9(a+2)}-2\right) = 3(a+2)\left(\frac1{9(a+2)}\right)-2=\frac13-2=-\frac53=e. $$ In $(\Z,\oplus)$ hat das Element $a$ das Inverse $a'=16-a$, weil $$ a\oplus a' = a+(16-a)-8 = 8 = e. $$