Lösung für Aufgabe 5.2.42
Beweisen Sie, dass $(\Z_{5}\setminus\{\bar{0}\},\cdot)$ eine Gruppe bildet. Vergleichen Sie diese Gruppe mit $(\Z_{4},+)$. Was fällt Ihnen auf?Die Cayley--Tafel für $(\Z_5,\cdot)$ haben wir in Aufgabe 5.1.11 bestimmt. Diejenige für $(\Z_5\setminus\{0\},\cdot)$ erhalten wir durch Streichung der ersten Spalte und Zeile. Aus der Verknüpfungstabelle können wir entnehmen, dass $1$ das Einselement ist, dass die Verknüpfung kommutativ ist (weil die Tabelle symmetrisch bezüglich der Hauptdiagonale (die von links oben nach rechts unten verläuft) ist, und dass jedes Element genau ein Inverses besitzt, weil in jeder Zeile (und Spalte) das Einselement $1$ genau einmal auftritt. Wir sehen $2\cdot 2 = 2^2 = 4$, $2\cdot 2\cdot 2 = 2^3 = 3$, $2\cdot2\cdot2\cdot2=2^4=2^0=1$. Die Verknüpfung ist also zyklisch, d.h. jedes Element in $\Z_5\setminus\{0\}$ ist $2^k$ für ein $k\in\Z$, in diesem Fall sogar für $k\in\Z_4$. Es gilt außerdem $2^k\cdot2^\ell = 2^{k+\ell\mod 4}$, also verhält sich die Verknüpfung in $\Z_5\setminus\{0\}$ genau wie $+$ in $\Z_4$. Davon haben wir aber schon in Aufgabe 5.2.41 die Gruppeneigenschaften bewiesen. Daher ist auch $(\Z_5\setminus\{0\},\cdot)$ eine Gruppe. Sie ist isomorph zu $(\Z_4,+)$.