Lösung für Aufgabe 5.2.56
Sei $(H,\o)$ eine Untergruppe von $(G,\o)$ und $(K,\o)$ eine Untergruppe von $(H,\o)$. Beweisen Sie, dass dann $(K,\o)$ eine Untergruppe von $(G,\o)$ ist. Vergleichen Sie mit Aufgabe 5.2.53.Es gelten $K\subseteq H$ und $H\subseteq G$, also folgt $K\subseteq G$, und klarerweise ist $\o:K\x K\to G$ die Einschränkung der Abbildung von $\o:G\x G\to G$ auf $K\x K$ (via Einschränkung auf $H\x H$). Nun müssen wir nur noch Proposition 5.2.49 verwenden: Seien also $g,h\in K$ beliebig. Dann ist $g\o h\inv\in K$, weil $K$ Untergruppe von $H$ ist (wegen Proposition 5.2.49.(ii)). Wieder wegen Proposition 5.2.49.(ii) folgt dann sofort, dass $K$ Untergruppe von $G$ ist.