Lösung für Aufgabe 5.3.27
Beweisen Sie, dass $R^{*}$, die Menge der Einheiten in einem Ring $R$ mit Eins, tatsächlich eine Gruppe ist.Sei $(R,+,\cdot)$ ein Ring und $R^*$ die Menge der Einheiten. Seien $u,v\in R^*$. Dann gibt es $u',v'\in R$ mit $u'u=uu'=1$ und $v'v=vv'=1$. Wegen $(v'u')(uv) = v'(u'u)v = v'1v = v'v = 1$ und $(uv)(v'u') = u(vv')u' = u1u' = uu' = 1$ ist $v'u'$ ein Inverses von $uv$, und damit ist $uv\in R^*$. Weiters ist $u$ das Inverse von $u'$, und damit ist auch $u'\in R^*$. Daher ist $\cdot:R^*\x R^*\to R^*$ eine Verknüpfung auf $R^*$. Diese Verknüpfung ist assoziativ, weil $\cdot$ sogar auf ganz $R$ assoziativ ist. Wegen $1\cdot1=1$ ist $1\in R^*$, und $1$ ist das Einselement, weil es sogar Einselement in $R$ ist. Zuvor haben wir auch schon gezeigt, dass für alle $u\in R^*$ auch $u'\in R^*$ ist, also hat jedes Element in $R^*$ ein Inverses. Daher ist $R^*$ tatsächlich eine Gruppe.