Lösung für Aufgabe 5.3.34
Seien $a$ und $b$ Elemente eines Ringes $(R,+,\cdot)$, und sei $u\in R^{*}$ eine Einheit. Beweisen Sie, $$ a|b \liff a|ub\quad\text{und}\quad a|b \liff ua|b. $$$\limplies$: Gilt $a|b$, dann existiert $0\neq c\in R$ mit $ac=b$. Weil $u\in R^*$ liegt, existiert $u\inv\in R^*$, und wir finden $a(uc)=u(ac)=ub$, und $uc\neq 0$, weil $u\inv uc=c\neq 0$. Also gilt $a|ub$. $\Leftarrow$: Gilt $a|ub$, dann existiert $0\neq c\in R$ mit $ac=ub$, und es gibt wieder $u\inv\in R^*$. Wir rechnen $a(u\inv c)=u\inv(ac)=u\inv(ub)=(u\inv u)b=1b=b$, und wieder gilt $u\inv c\neq0$, also folgt $a|b$. Analog beweisen wir die andere Äquivalenz:
$\limplies$: Gilt $a|b$, dann existiert $0\neq c\in R$ mit $ac=b$. Weil $u\in R^*$ liegt, existiert $u\inv\in R^*$, und wir finden $(ua)(u\inv c)=a(uu\inv)c=ac=b$, und $u\inv c\neq 0$. Also gilt $ua|b$. $\Leftarrow$: Gilt $ua|b$, dann existiert $0\neq c\in R$ mit $(ua)c=b$, und es gibt wieder $u\inv\in R^*$. Wir rechnen $a(uc)=(ua)c=b$, und wieder gilt $uc\neq0$, also folgt $a|b$.