Lösung für Aufgabe 5.3.3
Überprüfen Sie, ob in $(\Z_{4},+,\cdot)$ und $(\Z_{5},+,\cdot)$ die Distributivgesetze gelten. (Achtung, direktes Nachrechnen ist hier nicht zielführend! Suchen Sie nach einer alternativen Beweismöglichkeit.)Seien $a,b,c\in\Z_k$ gegeben, und seien $\hat a\in a\subset\Z$, $\hat b\in b\subset\Z$ und $\hat c\in c\subset\Z$ Repräsentanten der Äquivalenzklassen. Dann gilt $a(b+c) \ni \hat a(\hat b+\hat c) = \hat a\hat b+\hat a\hat c \in ab+ac$. Darum haben die Äquivalenzklassen $a(b+c)$ und $ab+ac$ nichtleeren Schnitt. Daher sind sie gleich, also $a(b+c)=ab+ac$. Das zweite Distributivgesetz folgt aus der Kommutativität von $\cdot$.