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Lösung für Aufgabe 5.4.12
Sei $(K,+,\cdot)$ Körper. Wir vereinbaren für $a,b\in K$ mit $b\not=0$ die
Schreibweise $a/b:=\frac{a}{b}:=ab^{-1}$. Zeigen Sie die Gültigkeit der folgenden "`Regeln
der Bruchrechnung"' ($a,b,c,d\in K$, $b,d\not=0$):
- $\displaystyle\frac{a}{b}\pm\frac{c}{d}=\frac{ad\pm bc}{bd}$,
- $\displaystyle\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}$,
- $\displaystyle\frac{a/b}{c/d}=\frac{ad}{bc}\quad(c\neq0)$.
-
$$
(bd)(ab\inv\pm cd\inv) = (bd)(ab\inv)\pm(bd)(cd\inv) =
(da)(bb\inv)\pm(bc)(dd\inv) = (ad)1\pm(bc)1 = ad\pm bc.
$$
Jetzt multiplizieren wir die Gleichung mit $(bd)\inv$ und erhalten das
Gesuchte.
-
$$
(bd)((ab\inv)(cd\inv)) = (bb\inv)(ac)(dd\inv) = 1(ac)1 = ac.
$$
Durch Multiplikation der Gleichung mit $(bd)\inv$ beenden wir den Beweis.
-
$$
(ab\inv)(cd\inv)\inv = (ab\inv)(c\inv d) = (ad)(b\inv c\inv) =
(ad)(bc)\inv.
$$
