Lösung für Aufgabe 5.4.19 (Erweiterungsstoff)
Sei $\Q[i]:=\{a+ib\mid a,b\in\Q\}\subseteq\C$. Beweisen Sie, dass $\Q[i]$ ein Unterkörper von $\C$ ist.Wir berechnen $$ (a+ib)-(a'+ib') = (a-a')+i(b-b') $$ und für $a'+ib'\neq 0$ (d.h. $a'^2+b'^2\neq 0$) $$ (a+ib)(a'+ib')\inv = \frac{aa'+bb'}{a'^2+b'^2}+i\frac{a'b-ab'}{a'^2+b'^2}. $$ Weil Summen, Differenzen, Produkte und Quotienten rationaler Zahlen wieder rational sind, sind die Ergebnisse wieder in $\Q[i]$. Mit Proposition 5.4.15 schließen wir, dass $\Q[i]$ ein Unterkörper von $\C$ ist.