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Lösung für Aufgabe 5.4.23

Auf den reellen Zahlen $\R$ definieren wir die Verknüpfungen \begin{align*} a\oplus b &:= a + b - 3,\\ a\otimes b &:= (a-3)(b-3)+3 = ab - 3a - 3b + 12. \end{align*} Weisen Sie nach, dass $(\R,\oplus,\otimes)$ ein Körper ist. Geben Sie einen Körperisomorphismus $\ph:(\R,\oplus,\otimes)\to(\R,+,\cdot)$ an.

Wir überprüfen explizit die Körperaxiome:
  • (K1): Seien $a,b,c\in\R$. Wir finden \begin{align*} (a\oplus b)\oplus c &= (a+b-3)\oplus c = (a+b-3)+c-3 = a+b+c-6\\ &= a+(b+c-3)-3 = a\oplus(b+c-3) \\ &= a\oplus(b\oplus c). \end{align*}
  • (K2): Nehmen wir beliebige $a,b\in\R$. Es gilt \begin{equation*} a\oplus b=a+b-3 = b+a-3 = b\oplus a. \end{equation*}
  • (K3): Für $3$ gilt \begin{equation*} a\oplus 3 = a+3-3 = a+0 = a, \end{equation*} also ist $3$ das Nullelement.
  • (K4): Sei $a\in\R$ gegeben. Wir definieren $\ominus a:=6-a\in\R$ und berechnen \begin{equation*} a\oplus(\ominus a) = a\oplus(6-a) = a+6-a-3 = 3. \end{equation*} Daher ist $\ominus a$ das additiv Inverse zu $a$.
  • (K5): Für alle $a,b,c\in\R$ folgt \begin{align*} (a\otimes b)\otimes c &= ((a-3)(b-3)+3)\otimes c = ((a-3)(b-3)+3-3)(c-3)+3 = (a-3)(b-3)(c-3)+3\\ &= (a-3)((b-3)(c-3)+3-3)+3 = a\otimes((b-3)(c-3)+3)\\ &=(a_{1}b_{1}+3a_{2}b_{2},a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1})(c_{1},c_{2})\\ &= a\otimes(b\otimes c). \end{align*}
  • (K6): Es seien wieder $a,b\in\R$. Wir rechnen nach: \begin{equation*} a\otimes b = (a-3)(b-3)+3 = (b-3)(a-3)+3 = b\otimes a. \end{equation*}
  • (K7): Wir betrachten $4\in\R$. Klarerweise gilt $3\neq4$, und außerdem für $a\in\R$ \begin{equation*} a\otimes 4 = (a-3)(4-3)+3 = (a-3)+3 = a, \end{equation*} also ist $4$ das Einselement.
  • (K8): Für $3\neq a\in\R$ definieren wir $a\inv:=\frac1{a-3}+3$. Es gilt, $a\inv$ ist für alle $a\neq3$ definiert. Nun können wir rechnen \begin{equation*} a\otimes a\inv = (a-3)(\frac1{a-3}+3-3)+3 = \frac{a-3}{a-3} + 3 = 4. \end{equation*}
  • (K9): Auch das letzte Axiom ist eine kurze Rechnung. Seien wieder $a,b,c\in\R$, dann gilt \begin{align*} a\otimes b\oplus a\otimes c &= ((a-3)(b-3)+3)\oplus((a-3)(c-3)+3) = (a-3)(b-3)+(a-3)(c-3)+6-3\\ &= (a-3)((b-3)+(c-3))+3 = (a-3)(b+c-3-3)+3 \\ &= a\otimes(b+c-3) = a\otimes(b\oplus c). \end{align*}
Wir haben also alle Eigenschaften nachgeprüft, und daher ist $(\R,\oplus,\otimes)$ wirklich ein Körper.

Wir definieren $\ph:\R\to\R$ durch $\ph:x\mapsto x+3$. Es gelten für $a,b\in\R$ $$ \ph(a+b) = a+b+3 = a+3+b+3-3 = \ph(a)\oplus\ph(b) $$ und $$ \ph(ab) = ab+3 = (a+3-3)(b+3-3)+3 = (a+3)\otimes(b+3) = \ph(a)\otimes\ph(b) $$ Die Umkehrabbildung von $\ph$ ist $x\mapsto x-3$, also sind $(\R,\oplus,\otimes)$ und $(\R,+,\cdot)$ isomorph. Weil die Abbildung $\ph$ eine Translation ist, d.h. die Menge $\R$ einfach um $3$ verschiebt, heißt $(\R,\oplus,\otimes)$ auch Translationskörper.