Lösung für Aufgabe 5.4.24 (Erweiterungsstoff)
Wir betrachten die Teilmenge $$ K := \biggl\{ \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix}\ \biggr|\ \biggl. a,b\in\Q\biggr\} $$ von $(M_{2}(\R),+,\cdot)$. Zeigen Sie, dass $(K,+,\cdot)$ ein Körper ist, der isomorph zu $\Q[i]$ (siehe Aufgabe 5.4.19) ist.Es gilt $$ \begin{pmatrix} a&b\\-b&a \end{pmatrix}- \begin{pmatrix} a'&b'\\-b'&a' \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} a-a'&b-b'\\-(b-b')&a-a' \end{pmatrix}, $$ sowie $$ \begin{pmatrix} a&b\\-b&a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a'&b'\\-b'&a' \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} aa'-bb'&ab'+a'b\\-(ab'+a'b)&aa'-bb' \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} a'&b'\\-b'&a' \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} a&b\\-b&a \end{pmatrix} , $$ Daher ist $(K,+,\cdot)$ ein Unterring von $(M_2(\R),+,\cdot)$, und die Multiplikation ist kommutativ auf $K$. Für $A=\begin{pmatrix} a&b\\-b&a \end{pmatrix}$ finden wir $\det A=a^2+b^2\neq 0$, also ist $A$ invertierbar (siehe Beispiel 5.2.30, Aufgabe 5.2.32). Daher besitzt jedes Element, das nicht Null ist, ein Inverses. Die Nullmatrix und die Einheitsmatrix sind in $K$, und damit ist $K$ ein Körper. Die Abbildung $\ph:K\to\Q[i]$ mit $$ \ph: \begin{pmatrix} a&b\\-b&a \end{pmatrix} \mapsto a+ib $$ ist ein Körperisomorphismus. Die Rechnung wurde im Prinzip bereits oben durchgeführt.