Lösung für Aufgabe 5.4.6
Auf der Menge $K=\{0,1,a,b\}$ seien die Verknüpfungen \begin{equation*} \begin{array}{c|cccc} +\ &\ 0\ &\ 1\ &\ a\ &\ b \\\hline 0 & 0 & 1 & a & b \\ 1 & 1 & 0 & b & a \\ a & a & b & 0 & 1 \\ b & b & a & 1 & 0 \end{array}\qquad\text{und}\qquad \begin{array}{c|cccc} \cdot\ &\ 0\ &\ 1\ &\ a\ &\ b \\\hline 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & a & b \\ a & 0 & a & b & 1 \\ b & 0 & b & 1 & a \end{array} \end{equation*} gegeben. Zeigen Sie, dass $(K,+,\cdot)$ ein Körper ist. Vergleichen Sie diesen Körper (seine mathematische Bezeichnung ist übrigens $GF(4)$ oder $\mathbb{F}_{4}$) mit $\Z_{4}$.Wenn wir genauer hinsehen, dann erkennen wir, dass $(K,+)$ isomorph zur Kleinschen Vierergruppe $V_4$ ist, und dass $(K\setminus\{0\},\cdot)$ isomorph zu $\Z_3$ ist. Was noch bleibt, ist das Distributivgesetz zu zeigen: $(0+x)y = xy = 0y+xy$, $(x+y)0 = 0 = 0x+0y$, $(x+y)1=x+y=x1+y1$ und $(x+x)y = 0y = 0 = xy+xy$ gelten für alle $x,y\in K$. Außerdem gelten $(1+a)a = ba = 1 = a+b = 1a+aa$, $(1+a)b = bb = a = b+1 = 1b+ab$, $(1+b)a = aa = b = a+1 = 1a+ba$, $(1+b)b = ab = 1 = b+a = 1b+bb$, $(a+b)a = 1a = a = b+1 = aa+ba$, $(a+b)b = 1b = b = 1+a = ab+bb$. Das beweist das Distributivgesetz. Also ist $(K,+,\cdot)$ ein Körper.