Differenzialgleichungen für LehramtskandidatInnen

Peter Raith

Lehrveranstaltungsnummer: 250045
Lehrveranstaltungstyp: VO
Stundenzahl: 2

Informationen zur Lehrveranstaltung:
Beginn: Dienstag, 6. Oktober 2015, 8.00, Hörsaal 04.

Für viele Anwendungen der Mathematik spielen Differenzialgleichungen und Differenzengleichungen eine entscheidende Rolle. Zunächst tritt die Frage auf, ob man eine Methode angeben kann zu einer gegebenen Differenzialgleichung eine Lösungsfunktion finden zu können. In einfachen Fällen ist dies möglich. Die Probleme aus den Anwendungen führen jedoch oft nicht auf einfache Differenzialgleichungen. Deshalb stellt sich die Frage, ob eine Differenzialgleichung überhaupt eine Lösung hat. Soferne sie eine Lösung hat, kann man sich fragen ob diese Lösung eindeutig ist (üblicherweise können Lösungen von Differenzialgleichungen nur dann eindeutig sein, wenn bestimmte Anfangsbedingungen oder Randbedingungen erfüllt sind). Auch wenn es etliche Methoden gibt Lösungen von Differenzialgleichungen zu finden, kann man Lösungen oft nicht explizit angeben. In so einem Fall können mit numerischen Verfahren Näherungslösungen bestimmt werden. Es gibt aber auch Methoden ohne die explizite Lösung zu kennen Aussagen über das „Langzeitverhalten“ der Lösungen zu machen.

Bei Differenzialgleichungen und Differenzengleichungen zeigt sich auch häufig das Phänomen, das kleine Änderungen in den Anfangsbedingungen große Auswirkungen auf das Verhalten der Lösungen „nach langer Zeit“ haben. Die Lösungen sind zwar durch ein deterministisches System bestimmt (also theoretisch eindeutig für alle Zeiten bestimmbar), aber in der Praxis erweist es sich oft als sinnvoller ein wahrscheinlichkeitstheoretisches Modell zu verwenden. Solche Phänomene nennt man chaotisches Verhalten.

Für viele Begründungen in der Theorie der Differenzialgleichungen werden Resultate über metrische Räume (oder über Banachräume) verwendet. Ein kleines Skriptum über metrische Räume ist hier als pdf-File zu finden. Man kann hier einen Beweis des Existenzsatzes von Peano finden.

Hier findet man pdf-Files der Bilder zum Newtonverfahren für $z^3-1$ (also für $Tz=\frac{2}{3}z+\frac{1}{3z^2}$) und zum Newtonverfahren für $z^7-1$ (also für $Tz=\frac{6}{7}z+\frac{1}{7z^6}$).

In der Vorlesung werden (einfache gewöhnliche) Differentialgleichungen behandelt. Schließlich werden chaotische diskrete dynamische Systeme kurz erklärt.

Zur Vertiefung des in der Vorlesung gebrachten Stoffes ist der Besuch des Proseminars unerlässlich. Unterstützung erfolgt durch die TutorIn Marlene Binder.

Prüfungen:

Die Prüfungen zur Vorlesung bestehen aus einem schriftlichen und einem mündlichen Teil.

Das erste schriftliche Kolloquium zur Vorlesung fand am Mittwoch, 27. Jänner 2016, um 18.30 im Hörsaal 01 (OMP 1) statt. Die dazugehörige mündliche Prüfung wäre dann mit mir persönlich zu vereinbaren und bis spätestens 29. März 2017 abzulegen gewesen.

Das zweite schriftliche Kolloquium zur Vorlesung fand am Freitag, 11. März 2016, um 15.00 im Hörsaal 04 (OMP 1) statt. Die dazugehörige mündliche Prüfung wäre dann mit mir persönlich zu vereinbaren und bis spätestens 29. März 2017 abzulegen gewesen.

Das dritte schriftliche Kolloquium zur Vorlesung fand am Freitag, 29. April 2016, um 15.00 im Hörsaal 13 (OMP 1) statt. Die dazugehörige mündliche Prüfung wäre dann mit mir persönlich zu vereinbaren und bis spätestens 29. März 2017 abzulegen gewesen.

Das vierte schriftliche Kolloquium zur Vorlesung fand am Freitag, 3. Juni 2016, um 15.00 im Hörsaal 13 (OMP 1) statt. Die dazugehörige mündliche Prüfung wäre dann mit mir persönlich zu vereinbaren und bis spätestens 29. März 2017 abzulegen gewesen.

Das fünfte schriftliche Kolloquium zur Vorlesung fand am Freitag, 21. Oktober 2016, um 15.00 im Hörsaal 13 (OMP 1) statt. Die dazugehörige mündliche Prüfung wäre dann mit mir persönlich zu vereinbaren und bis spätestens 29. März 2017 abzulegen gewesen.

Das sechste schriftliche Kolloquium zur Vorlesung fand am Freitag, 18. November 2016, um 15.00 im Hörsaal 13 (OMP 1) statt. Die dazugehörige mündliche Prüfung wäre dann mit mir persönlich zu vereinbaren und bis spätestens 29. März 2017 abzulegen gewesen.

Das siebente schriftliche Kolloquium zur Vorlesung fand am Freitag, 20. Jänner 2017, um 15.00 im Hörsaal 13 (OMP 1) statt. Die dazugehörige mündliche Prüfung wäre dann mit mir persönlich zu vereinbaren und bis spätestens 25. April 2017 abzulegen gewesen.

Das achte und vorletzte schriftliche Kolloquium zur Vorlesung fand am Freitag, 5. Mai 2017, um 16.45 im Hörsaal 13 (OMP 1) statt. Die dazugehörige mündliche Prüfung wäre dann mit mir persönlich zu vereinbaren und bis spätestens 27. Juni 2017 abzulegen gewesen.

Das neunte und letzte schriftliche Kolloquium zur Vorlesung fand am Freitag, 20. Oktober 2017, um 17.15 im Hörsaal 13 (OMP 1) statt. Die dazugehörige mündliche Prüfung wäre dann mit mir persönlich zu vereinbaren und bis spätestens 7. Dezember 2017 abzulegen gewesen.

Literaturhinweise:

Es gibt sehr viele Bücher, die den Stoff der Vorlesung behandeln. Bei diesen Lehrbüchern hängt es oft vom persönlichen Geschmack der/des LeserIn ab, ob ein bestimmtes Buch ihr/ihm gefällt oder nicht.

Die folgende Liste ist als eine Auswahl anzusehen:

• Ll. Alsedà, J. Llibre, M. Misiurewicz, Combinatorial patterns and entropy in dimension one, World Scientific, Singapore, 2000 (2^nd edition).
• V. I. Arnol'd, Gewöhnliche Differentialgleichungen, Springer-Verlag, Berlin, 2001 (2. Auflage).
• R. Devaney, An introduction to chaotic dynamical systems, Westview Press, Boulder, 2003 (reprint of the 2^nd edition).
• W. Forst, D. Hoffmann, Gewöhnliche Differentialgleichungen, Springer-Verlag, Heidelberg, 2013 (2. Auflage).
• H. Heuser, Gewöhnliche Differentialgleichungen, Vieweg+Teubner, Wiesbaden, 2009 (6. Auflage).