3.4.5 Lemma. Verhalten bei unendlich.
Es sei
ein Polynom vom Grad
. Dann ist
.
Beweis. Es sei
3.4.6 Lemma. Infimum wir angenommen.
Es sei
ein Polynom vom Grad
. Dann
mit
.
Beweis. Es sei
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3.4.7 Lemma. Existenz einer Nullstelle.
Es sei
ein Polynom vom Grad
. Dann existiert ein
mit
.
Beweis. Es sei
Falls
mit
, so ist
für
mit
.
So ein
existiert, denn sei
die Polarzerlegung
(1.7.2)
mit
und
.
Dann ist
die
gesuchte Lösung nach der Formel (1.7.3) von Moivre.
Sei nun
ein beliebiges Polynom vom Grad
. Dann ist
3.4.8 Fundamentalsatz der Algebra.
Zu jedem Polynom
vom Grad
existieren Zahlen
und
s.d.
für alle
.
Beweis. Es sei
3.4.9 Reelle Version des Fundamentalsatzes der Algebra.
Es sei
ein Polynom mit ausschließlich reellen Koeffizienten.
Dann ist
Beweis. Falls
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Andreas Kriegl 2003-10-15