3.4.10 Bemerkung.
Bislang haben wir
eine Bedeutung gegeben, falls
und
ist.
Wir wollen diese Definition nun auf
ausdehnen.
In (5.2.4) werden wir eine elegantere Definition behandeln.
3.4.11 Lemma. Stetigkeit der Exponentialfunktion auf
.
Die allgemeine Exponentialfunktion
ist stetig
und für
monoton
wachsend.
Ist
Beweis. Es konvergiere
3.4.12 Definition. mit
.
Es sei
und
. Wir definieren
.
Dieses Supremum existiert, da ein
existiert mit
und somit ist
für alle
.
Für
setzen wir
.
3.4.13 Lemma. Stetigkeit der Exponentialfunktion auf
.
Für
ist die Funktion
,
stetig und monoton und es gilt:
Beweis. Monotonie: Aus
(1) Es ist
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|
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||
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||
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Wegen der Potenzregel (1) genügt es die Stetigkeit von
bei
zu zeigen. Wegen der Monotonie folgt die Stetigkeit von rechts aus (3.4.11),
denn
, falls
und
.
Die Stetigkeit von links folgt ebenso, denn
, falls
und
.
(3) Es
(2) Sei vorerst
. Aus
folgt mittels
(3.4.4),
daß
.
Somit ist für
:
3.4.14 Definition. Logarithmus.
Es sei
. Dann besitzt die Funktion
,
eine stetige monoton
wachsende Umkehrfunktion nach dem inversen Funktionen Satz.
Diese wird mit
(den Logarithmus zur Basis
bezeichnet). D.h.
Für jedes
existiert eine eindeutige Lösung
der Gleichung
.
3.4.15 Lemma. Rechenregeln des Logarithmus.
Es gilt:
3.4.16 Folgerung. Stetigkeit der Potenzfunktion.
Für
ist die Funktion
,
stetig.
Beweis. Es ist
3.4.17 Banach'scher Fixpunktsatz.
Anstelle einer Gleichung der Form
können wir äquivalent auch
die Fixpunkt-Gleichung
lösen.
Wenn
nicht ein Fixpunkt von
ist, dann betrachten wir
rekursiv definiert
durch
. Wir hätten gerne, daß
existiert, da dann
, d.h.
ein Fixpunkt wäre. Dazu
brauchen wir, daß
, oder besser
, oder sogar
mit
.
Dann ist
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|
![]() |
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|
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Banach'scher Fixpunkt-Satz.
Es sei
ein vollständiger metrischer Raum und
eine Kontraktion,
d.h. ein
existiert mit
für alle
.
Dann gibt es einen eindeutigen Fixpunkt
von
,
welcher als Limes
der rekursiv definierten Folge
mit beliebigen Startwert
erhalten werden kann. Weiters gelten die Abschätzungen
Andreas Kriegl 2003-10-15