Allgemeine Potenz

3.4.10 Bemerkung.
Bislang haben wir $\bgroup\color{demo}$ a^x$\egroup$ eine Bedeutung gegeben, falls $\bgroup\color{demo}$ x\in\protect\mathbb{Q}$\egroup$ und $\bgroup\color{demo}$ a>0$\egroup$ ist. Wir wollen diese Definition nun auf $\bgroup\color{demo}$ x\in\protect\mathbb{R}$\egroup$ ausdehnen. In (5.2.4) werden wir eine elegantere Definition behandeln.

3.4.11 Lemma. Stetigkeit der Exponentialfunktion auf $\bgroup\color{demo}$ \protect\mathbb{Q}$\egroup$ .
Die allgemeine Exponentialfunktion $\bgroup\color{demo}$ x\mapsto a^x$\egroup$ ist stetig $\bgroup\color{demo}$ \protect\mathbb{Q}\to\protect\mathbb{R}$\egroup$ und für $\bgroup\color{demo}$ a\geq 1$\egroup$ monoton wachsend.

Ist $\bgroup\color{demo}$ a:=e$\egroup$ die Euler'sche Konstante so spricht man kurz von der Exponentialfunktion $\bgroup\color{demo}$ \exp:x\mapsto x=e^x$\egroup$ ] $\bgroup\color{demo}$ \exp$\egroup$ Exponentialfunktion zur Basis $\bgroup\color{demo}$ e$\egroup$ .

Beweis. Es konvergiere $\bgroup\color{demo}$ x_n\to x_{\infty}$\egroup$ in $\bgroup\color{demo}$ \protect\mathbb{Q}$\egroup$ . Da ist $\bgroup\color{demo}$ \lim_{n\to{\infty}} x_n-x_{\infty}=0$\egroup$ und $\bgroup\color{demo}$ a^{x_n}=a^{x_n-x_{\infty}}\,a^{x_{\infty}}$\egroup$ nach (1.3.13). Es genügt also $\bgroup\color{demo}$ x_{\infty}=0$\egroup$ anzunehmen und $\bgroup\color{demo}$ \lim_n a^{x_n}=1$\egroup$ zu zeigen. Wegen $\bgroup\color{demo}$ a^x=\frac1{(1/a)^x}$\egroup$ und der Stetigkeit von $\bgroup\color{demo}$ x\mapsto 1/x$\egroup$ bei 1 dürfen wir $\bgroup\color{demo}$ a\geq 1$\egroup$ annehmen. Da $\bgroup\color{demo}$ x\mapsto a^x$\egroup$ für $\bgroup\color{demo}$ a\geq 1$\egroup$ wachsend ist, genügt es dies für die Folgen $\bgroup\color{demo}$ x_n:=\pm\frac1n$\egroup$ zu zeigen. Nach (2.3.13) ist dies der Fall. []

3.4.12 Definition. mit $x\in\protect\mathbb{R}$ .
Es sei $\bgroup\color{demo}$ a\geq 1$\egroup$ und $\bgroup\color{demo}$ x\in\protect\mathbb{R}$\egroup$ . Wir definieren $\bgroup\color{demo}$ a^x:=\sup\{a^t:t\in\protect\mathbb{Q},t<x\}>0$\egroup$ . Dieses Supremum existiert, da ein $\bgroup\color{demo}$ N\in\protect\mathbb{N}\subseteq \protect\mathbb{Q}$\egroup$ existiert mit $\bgroup\color{demo}$ x\leq N$\egroup$ und somit ist $\bgroup\color{demo}$ a^t\leq a^N$\egroup$ für alle $\bgroup\color{demo}$ t<x\leq N$\egroup$ .

Für $\bgroup\color{demo}$ 0<a<1$\egroup$ setzen wir $\bgroup\color{demo}$ a^x:=\frac1{(1/a)^x}$\egroup$ .

3.4.13 Lemma. Stetigkeit der Exponentialfunktion auf $\bgroup\color{demo}$ \protect\mathbb{R}$\egroup$ .
Für $\bgroup\color{demo}$ a>0$\egroup$ ist die Funktion $\bgroup\color{demo}$ x\mapsto a^x$\egroup$ , $\bgroup\color{demo}$ \protect\mathbb{R}\to\protect\mathbb{R}$\egroup$ stetig und monoton und es gilt:

$a^{x+y}=a^x\cdot a^y$
$(a^x)^y=a^{x\cdot y}$
$(a\cdot b)^x=a^x\cdot b^x$
$a^x\geq 1$ falls $a\geq 1$ und $x\geq 0$

Beweis. Monotonie: Aus $\bgroup\color{demo}$ x<y$\egroup$ folgt $\bgroup\color{demo}$ \{t:t< x\}\subseteq \{t:t< y\}$\egroup$ und für $\bgroup\color{demo}$ a\geq 1$\egroup$ somit $\bgroup\color{demo}$ a^x\leq a^y$\egroup$ .

(1) Es ist

$\displaystyle a^x\cdot a^y$	$\displaystyle = \sup\{a^t:\protect\mathbb{Q}\ni t< x\}\cdot \sup\{a^s:\protect\mathbb{Q}\ni s< y\}$
	$\displaystyle = \sup\{a^t\cdot a^s:\protect\mathbb{Q}\ni t< x,\protect\mathbb{Q}\ni s< y\}$
	$\displaystyle = \sup\{a^r:r=t+s$ mit $\displaystyle \protect\mathbb{Q}\ni t< x,\protect\mathbb{Q}\ni s< y\}$
	$\displaystyle = \sup\{a^r:r\in\protect\mathbb{Q},r<x+y\}=a^{x+y}$

Wegen der Potenzregel (1) genügt es die Stetigkeit von $\bgroup\color{demo}$ a\mapsto a^x$\egroup$ bei $\bgroup\color{demo}$ x=0$\egroup$ zu zeigen. Wegen der Monotonie folgt die Stetigkeit von rechts aus (3.4.11), denn $\bgroup\color{demo}$ 1\leq a^x=\sup\{a^t:\protect\mathbb{Q}\ni t<x\}\leq a^s$\egroup$ , falls $\bgroup\color{demo}$ a\geq 1$\egroup$ und $\bgroup\color{demo}$ 0<x\leq s\in\protect\mathbb{Q}$\egroup$ .

Die Stetigkeit von links folgt ebenso, denn $\bgroup\color{demo}$ 1\geq a^x=\sup\{a^t:\protect\mathbb{Q}\ni t<x\}\geq a^s$\egroup$ , falls $\bgroup\color{demo}$ a\geq 1$\egroup$ und $\bgroup\color{demo}$ 0>x>s\in\protect\mathbb{Q}$\egroup$ .

(3) Es

$\bgroup\color{demo}$\displaystyle (a\cdot b)^r =\lim_{\protect\mathbb{Q}\ni t\to... ...t\to r} a^t\cdot \lim_{\protect\mathbb{Q}\ni t\to r} b^t =a^r\cdot b^r. $\egroup$

(2) Sei vorerst $\bgroup\color{demo}$ (0\ne )y\in \protect\mathbb{Q}$\egroup$ . Aus $\bgroup\color{demo}$ a^x=\lim_{\protect\mathbb{Q}\ni r\to x}a^r$\egroup$ folgt mittels (3.4.4), daß $\bgroup\color{demo}$ (a^x)^y=\lim_{\protect\mathbb{Q}\ni r\to x} (a^r)^y=\lim_{\... ...a^{r\cdot y}= \lim_{\protect\mathbb{Q}\ni s\to x\cdot y}a^s=a^{x\cdot y}$\egroup$ .

Somit ist für $\bgroup\color{demo}$ y\in\protect\mathbb{R}$\egroup$ :

$\bgroup\color{demo}$\displaystyle (a^x)^y = \lim_{\protect\mathbb{Q}\ne s\to y} ... ...cdot s} = \lim_{\protect\mathbb{Q}\ne r\to x\cdot y} a^r =a^{x\cdot y}. $\egroup$

[]

3.4.14 Definition. Logarithmus.
Es sei $\bgroup\color{demo}$ b>1$\egroup$ . Dann besitzt die Funktion $\bgroup\color{demo}$ x\mapsto b^x$\egroup$ , $\bgroup\color{demo}$ \protect\mathbb{R}\to\protect\mathbb{R}_+$\egroup$ eine stetige monoton wachsende Umkehrfunktion nach dem inversen Funktionen Satz. Diese wird mit $\bgroup\color{demo}$ \log_b$\egroup$ (den Logarithmus zur Basis bezeichnet). D.h. Für jedes $\bgroup\color{demo}$ y>0$\egroup$ existiert eine eindeutige Lösung $\bgroup\color{demo}$ x=\log_b(y)$\egroup$ der Gleichung $\bgroup\color{demo}$ b^x=y$\egroup$ .

3.4.15 Lemma. Rechenregeln des Logarithmus.
Es gilt:

$\log(x\cdot y)=\log(x)+\log(y)$
$\log(x^b)=b\cdot\log(x)$

[]

3.4.16 Folgerung. Stetigkeit der Potenzfunktion.
Für $\bgroup\color{proclaim}$ p\in\protect\mathbb{R}$\egroup$ ist die Funktion $\bgroup\color{proclaim}$ x\mapsto x^p$\egroup$ , $\bgroup\color{proclaim}$ \protect\mathbb{R}^+\to\protect\mathbb{R}^+$\egroup$ stetig.

Beweis. Es ist $\bgroup\color{demo}$ x^p=b^{\log_b(x^p)}=b^{p\cdot \log_b x}$\egroup$ und somit stetig in $\bgroup\color{demo}$ x$\egroup$ , denn $\bgroup\color{demo}$ \log_b$\egroup$ , die Multiplikation mit $\bgroup\color{demo}$ p$\egroup$ und $\bgroup\color{demo}$ y\mapsto b^y$\egroup$ sind stetig. []

3.4.17 Banach'scher Fixpunktsatz.
Anstelle einer Gleichung der Form $\bgroup\color{demo}$ f(x)=y$\egroup$ können wir äquivalent auch die Fixpunkt-Gleichung $\bgroup\color{demo}$ x=g(x):=x+y-f(x)$\egroup$ lösen. Wenn $\bgroup\color{demo}$ x_0$\egroup$ nicht ein Fixpunkt von $\bgroup\color{demo}$ g$\egroup$ ist, dann betrachten wir $\bgroup\color{demo}$ x_n$\egroup$ rekursiv definiert durch $\bgroup\color{demo}$ x_{n+1}:= g(x_n)$\egroup$ . Wir hätten gerne, daß $\bgroup\color{demo}$ x_{\infty}:=\lim_n x_n$\egroup$ existiert, da dann $\bgroup\color{demo}$ g(x_{\infty})=g(\lim_n x_n)=\lim_n g(x_n)= \lim_n x_{n+1}=x_{\infty}$\egroup$ , d.h. $\bgroup\color{demo}$ x_{\infty}$\egroup$ ein Fixpunkt wäre. Dazu brauchen wir, daß $\bgroup\color{demo}$ d(x_{n+1},x_{\infty})=d(g(x_n),g(x_{\infty}))\to 0$\egroup$ , oder besser $\bgroup\color{demo}$ d(g(x),g(y))< d(x,y)$\egroup$ , oder sogar $\bgroup\color{demo}$ d(g(x),g(y))\leq q d(x,y)$\egroup$ mit $\bgroup\color{demo}$ q<1$\egroup$ . Dann ist

$\displaystyle d(x_{n+1},x_n)$	$\displaystyle = d(g^n(x_1),g^n(x_0)) \leq q^n d(x_1,x_0)$ und somit
$\displaystyle d(x_{n+m},x_n)$	$\displaystyle \leq \sum_{k=0}^{m-1} d(x_{n+k+1},x_{n+k}) \leq\sum_{k=0}^{m-1}q^k\,d(x_{n+1},x_n)$
	$\displaystyle \leq \sum_{k=0}^{m-1} q^{n+k} d(x_1,x_0) \leq \frac{q^n}{1-q} d(x_1,x_0)\to 0,$

daher ist $\bgroup\color{demo}$ x_n$\egroup$ eine Cauchy-Folge und konvergiert also zu einem Fixpunkt $\bgroup\color{demo}$ x_{\infty}$\egroup$ . Wenn $\bgroup\color{demo}$ x$\egroup$ ein weiterer Fixpunkt ist, dann ergibt $\bgroup\color{demo}$ d(x,x_{\infty})=d(g(x),g(x_{\infty}))< d(x,x_{\infty})$\egroup$ einen Widerspruch. Beachte, daß

$\begin{multline*} d(x_{n+m},x_n) \leq \sum_{k=0}^{m-1} d(x_{n+k+1},x_{n+k}) \leq... ...leq \frac{q}{1-q} d(x_n,x_{n-1}) \leq \frac{q^n}{1-q} d(x_1,x_0) \end{multline*}$

und daher

$\bgroup\color{demo}$\displaystyle d(x_{\infty},x_n) \leq \frac{q}{1-q} d(x_n,x_{n-1}) \leq \frac{q^n}{1-q}d(x_1,x_0). $\egroup$

Dies zeigt:

Banach'scher Fixpunkt-Satz.
Es sei $\bgroup\color{demo}$ (X,d)$\egroup$ ein vollständiger metrischer Raum und $\bgroup\color{demo}$ g:X\to X$\egroup$ eine Kontraktion, d.h. ein $\bgroup\color{demo}$ q<1$\egroup$ existiert mit $\bgroup\color{demo}$ d(g(x),g(y))\leq q\,d(x,y)$\egroup$ für alle $\bgroup\color{demo}$ x,y\in X$\egroup$ . Dann gibt es einen eindeutigen Fixpunkt $\bgroup\color{demo}$ x_{\infty}\in X$\egroup$ von $\bgroup\color{demo}$ g$\egroup$ , welcher als Limes der rekursiv definierten Folge $\bgroup\color{demo}$ x_{n+1}:= g(x_n)$\egroup$ mit beliebigen Startwert $\bgroup\color{demo}$ x_0$\egroup$ erhalten werden kann. Weiters gelten die Abschätzungen

$\bgroup\color{demo}$\displaystyle d(x_{\infty},x_n) \leq \frac{q}{1-q} d(x_n,x_{n-1}) \leq \frac{q^n}{1-q}d(x_1,x_0).{\rm\quad[]} $\egroup$

Andreas Kriegl 2003-10-15