16.2 Unstetigkeitsstellen

Wir wollen nun untersuchen woran es liegen kann, wenn eine Abbildung $f:X\to Y$ bei $x_0$ nicht stetig ist. Beachte, daß wir nur für $x_0$ im Definitionsbereich von $f$ die Frage nach der Stetigkeit von $f$ bei $x_0$ stellen können. Die Abbildung $x\mapsto \frac1x$, $\mathbb{R}\setminus\{0\}\to\mathbb{R}$ ist also weder stetig noch unstetig bei 0. Für $x_0\notin X$ können wir wie folgt vorgehen.

16.2.1 Definition. Stetige Fortsetzbarkeit.
Eine Abbildung $f:X\setminus\{x_0\}\to Y$ heißt stetig zu $x_0$ erweiterbar, falls ein $y_0\in Y$ existiert, s.d. die Abbildung

$$\tilde f:x\mapsto \left\{\begin{array}{ll} f(x) &\text{für }x\ne x_0 \\ y_0 &\text{für }x=x_0 \end{array}\right.$$

stetig bei $x_0$ ist. Dieses $f$ heißt dann auch stetige Fortsetzung von $f$.

Beispiel.
Es kann gezeigt werden, daß die Funktion $f:x\mapsto e^x$ welche wir bislang nur für rationale $x$ kennen zu einer stetigen Funktion $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ fortgesetzt werden kann

Damit können wir auch Konvergenz von Folgen als eine Stetigkeitaussage formulieren und somit die Schreibweise $x_{\infty}$ für den Grenzwert der Folge $x$ nachträglich begründen.

16.2.2 Lemma. Konvergenz von Folgen als Stetigkeit.
Eine Folge $(x_k)_{k\in\mathbb{N}}$ kann genau dann zu einer stetigen Abbildung $\mathbb{N}_{\infty}\to X$ erweitert werden, wenn sie konvergiert. Die Metrik auf $\mathbb{N}_{\infty}:=\mathbb{N}\cup\{+{\infty}\}$ ist dabei durch $d(n,m):=\vert\frac1n-\frac1m\vert$ gegeben, wobei wir $\frac1{+{\infty}}:=0$ gesetzt haben.

Beweis. ( $\Rightarrow$) Sei $x:\mathbb{N}_{\infty}\to X$ stetig mit $x(n):=x_n$ und $x_{\infty}:=x(+{\infty})$. Dann konvergiert $x_n\to x_{\infty}$, denn zu $\varepsilon >0$ existiert wegen der Stetigkeit bei $+{\infty}$ ein $\delta >0$ mit $d(k,+{\infty})<\delta \Rightarrow \vert x_k-x_{\infty}\vert<\varepsilon$. Wir wählen ein $N$ mit $\frac1N<\delta$, dann ist $\vert x_k-x_{\infty}\vert<\varepsilon$ für alle $k\geq N$, denn $d(k,+{\infty}):=\frac1k\leq \frac1N<\delta$.

( $\Leftarrow$) Umgekehrt sei $x_{\infty}:=\lim_n x_n$ dann definieren wir $x:\mathbb{N}_{\infty}\to X$ durch $x(n):=x_n$ für $n\in\mathbb{N}$ und $x(+{\infty}):=x_{\infty}$. Diese Abbildung ist stetig bei $+{\infty}$, denn zu $\varepsilon >0$ existiert ein $N\in\mathbb{N}$ mit $\vert x_n-x_{\infty}\vert<\varepsilon$ für alle $n\geq N$. Setzen wir $\delta :=\frac1N$, so ist $\vert x(n)-x(+{\infty})\vert=\vert x_n-x_{\infty}\vert<\varepsilon$ für $d(n,+{\infty})=\frac1n<\frac1N=\delta$.     []

Beachte, daß in isolierten Punkten $x_0\in X$, d.h. solchen für welche eine $\delta$-Umgebung existiert, die nur $x_0$ aus $X$ enthält, jede Abbildung $f:X\to Y$ stetig ist.

Die nicht-Stetigkeit einer Abbildung $f:X\to Y$ in einem nicht-isolierten Punkt $x_0\in X$ kann verschiedene Gründe haben. Einerseits kann es daran liegen, daß nur der Funktionswert $f(x_0)$ bei $x_0$ einen ungeeigneten Wert hat. Dies führt zu:

16.2.3 Definition. $\lim_{x\to x_0}f(x)$.
Es sei $x_0\in X$ kein isolierter Punkt, d.h. in jedem Ball um $x_0$ liegen andere Punkte aus $X$ und sei $f:X\setminus\{x_0\}\to Y$ eine Abbildung. Dann verstehen wir unter $\lim_{x\to x_0}f(x)$ jenen Punkt $y_0$ von $Y$ (sofern er existiert), s.d.

$$\forall \varepsilon >0\exists\delta >0\forall ... ...X\setminus\{x_0\}:d(x,x_0)<\delta \Rightarrow d(f(x),y_0)<\varepsilon .$$

Offensichtlich ist $f$ genau dann stetig zum Punkt $x_0$ fortsetzbar, wenn der Limes $\lim_{x\to x_0}f(x)$ existiert. Weiters ist $f:X\to Y$ genau dann stetig bei $x_0\in X$ wenn $f(x_0)=\lim_{x\to x_0}f(x)$.

16.2.4 Bemerkung. Hebbare Unstetigkeitsstelle.
Es sei $x_0$ nicht isoliert in $X$ und $f:X\to Y$ nicht stetig bei $x_0$. Dann heißt $x_0$ hebbare Unstetigkeitsstelle, wenn $\lim_{x\to x_0}f(x)$ existiert, d.h. $f$ durch Abänderung auf $x_0$ zu einer bei $x_0$ stetigen Funktion gemacht werden kann.

16.2.5 Bemerkung. Unbeschränktheit an einer Stelle.
Wenn eine nicht hebbare Unstetigkeitsstelle $x_0$ von $f:X\to \mathbb{R}$ vorliegt, so kann das daran liegen, daß $f$ bei $x_0$ unbeschränkt ist, d.h.

$$\forall N\exists x_N\in X\setminus\{x_0\}$$ mit $$\vert f(x_N)\vert\geq N.$$

Oder aber es gibt Folgen $x_n\to x_0$ mit verschiedenen Limiten $\lim_{n\to{\infty}}f(x_n)$. Für $X\subseteq \mathbb{R}$ kann dies insbesonders verschiedene Werte liefern, wenn wir uns von links oder von rechts an $x_0$ annähern. Also definieren wir:

16.2.6 Links- und rechtsseitige Grenzwerte.
Für Funktionen $f:\mathbb{R}\supseteq X\to Y$ können wir auch die einseitigen Grenzwerte $\lim_{x\to x_0-}f(x)$ und $\lim_{x\to x_0+}f(x)$ betrachten, d.h. die Grenzwerte der Funktionen $f_<:=f\vert _{\{x:x<x_0\}}$ und $f_>:=f\vert _{\{x:x>x_0\}}$.

Proposition. Stetigkeit via einseitiger Stetigkeit.
Es ist $f:\mathbb{R}\supseteq X\to Y$ genau dann stetig bei $x_0$, wenn die einseitigen Grenzwerte $\lim_{x\to x_0-}f(x)$ und $\lim_{x\to x_0+}f(x)$ existieren und gleich sind.

Falls zwar die einseitigen Grenzwerte existieren aber ungleich sind, so spricht man von einer Sprungstelle $x_0$ von $f$.

Beweis. ( $\Rightarrow$) ist offensichtlich.

( $\Leftarrow$) Sei $f(x_0):=\lim_{x\to x_0-}f(x)=\lim_{x\to x_0+}f(x)$. Für $\varepsilon >0$ existieren somit positive $\de_{<}$ und $\de_{>}$ s.d. $d(f(x),f(x_0))<\varepsilon$ für $x\in X$ mit $x_0-\de_{<}<x<x_0$ und auch für $x\in X$ mit $x_0<x<x_0+\de_>$. Wir setzen $\delta :=\min\{\de_<,\de_>\}$ und erhalten $d(f(x),f(x_0))<\varepsilon$ für alle $x\ne x_0$ mit $\vert x-x_0\vert<\delta$.     []

Für $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^q$ haben wir die Stetigkeit auf jene der Komponenten $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ zurückführen können. Im Fall $f:\mathbb{R}^p\to \mathbb{R}$ können wir die partiellen Funktionen betrachten: Für $p=2$ und $(x_0,y_0)\in\mathbb{R}^2$ betrachten wir $f_{y_0},f_{x_0}:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ gegeben durch $f_{y_0}(x):=f(x,y_0)$ sowie $f_{x_0}(y):=f(x_0,y)$. D.h. man hält alle bis auf eine Variable fest und läßt nur diese in $\mathbb{R}$ laufen.

16.2.8 Beispiel. Partielle Stetigkeit.
Es ist $f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$, gegeben durch $f(0,0):=0$ und $f(x,y):=\frac{xy}{x^2+y^2}$ sonst, nicht stetig bei 0, aber dennoch partiell stetig, d.h. $x\mapsto f(x,y)$ und $y\mapsto f(x,y)$ sind stetig. Um das einzusehen schreiben wir $(x,y)$ mittels Polarkoordinaten als

$$(x,y)-(x_0,y_0)=(r\cos(\varphi ),r\sin(\varphi ))$$ mit $$r>0$$ und $$\varphi \in [0,2\pi].$$

Die Stetigkeit bei $(x_0,y_0)$ bedeutet nun, daß $f(x,y)-f(x_0,y_0)$ für $r\to 0$ beliebig klein gemacht werden kann, unabhängig vom Winkel $\varphi$. In unserem Beispiel ist $(x_0,y_0)=0$ und $f(x,y)=\frac{r\cos(\varphi )r\sin(\varphi )}{r^2\sin(\varph... ...^2\cos(\varphi )^2}=\sin(\varphi )\cos (\varphi )=\frac12\sin(2\varphi )$ und das geht nicht gegen 0.

16.2.9 Proposition. Partielle Stetigkeit.
Es sei $f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$ partiell stetig auf $\mathbb{R}^2$ und zwar in einer Variable sogar gleichmäßig bezüglich der anderen, d.h. $\delta$ in der Definition der Stetigkeit kann unabhängig von der anderen Variable gewählt werden, symbolisch

$$\forall a\in\mathbb{R}\forall\varepsilon >0\ex... ...ert x-a\vert<\delta \Rightarrow \vert f(x,y)-f(a,y)\vert<\varepsilon .$$

Dann ist $f$ stetig.

Beweis. Wir betrachten

$$\vert f(x,y)-f(a,b)\vert \leq \vert f(x,y)-f(a,y)\vert + \vert f(a,y)-f(a,b)\vert$$

Nach Voraussetzung existiert ein $\alpha >0$ mit $\vert f(x,y)-f(a,y)\vert<\varepsilon$ für alle $\vert x-a\vert<\alpha$ und beliebigen $y$. Weiters existiert ein $\beta >0$ mit $\vert f(a,y)-f(a,b)\vert<\varepsilon$ für alle $\vert y-b\vert<\beta$. Somit ist $\vert f(x,y)-f(a,b)\vert<2\varepsilon$ falls $\vert(x,y)-(a,b)\vert<\delta :=\min\{\alpha ,\beta \}$.     []