5.2 Potenzreihen

5.2.1 Taylor's Formel.
Es sei $f:E\supseteq U\to F$ $C^p$ und $\overline{x(x+h)}\subseteq U$. Dann ist

$$f(x+h) = \sum_{0\leq j < p} \frac{f^{(j)}(x)(h... ...} + \int_0^1 \frac{(1-t)^{p-1}}{(p-1)!}\, f^{(p)}(x+th)(h,\dots,h)\,dt.$$

Beweis. Indem wir $c(t):=f(x+t\,h)$ setzen dürfen wir o.B.d.A. annehmen, daß $E=\mathbb{R}$ und $U$ ein offenes Intervall ist, welches $x=0$ und $h=1$ enthält. Dann erhalten wir mittels Kettenregel

$$c^{(p)}(t) = f^{(p)}(x+t\,h)(h,\dots,h)$$

und durch partielle Integration

$$c(1) = c(0) + \int_0^1 1\,c'(t)\, dt$$

$$= c(0) + \Bigl[(t-1)\,c'(t)\Bigr]_{t=0}^1 -\int_0^1 (t-1)\,c''(t)\,dt$$

$$= c(0) + c'(0) - \Bigl[\frac{(t-1)^2}{2}\,c''(t)\Bigr]_{t=0}^1 +\int_0^1 \frac{(t-1)^2}{2} \,c'''(t)\,dt$$

$$=\dots$$

$$= c(0) + c'(0) + \dots + \frac1{(p-1)!}\,c^{(p-1)}(0) + \int_0^1 \frac{(1-t)^{p-1}}{(p-1)!}\,c^{(p)}(t)\,dt{\rm\quad[]}$$

5.2.2 Bemerkung.
Es sei $f:E\supseteq U\to F$ $C^{\infty}$. Falls das Restglied

$$\int_0^1 \frac{(1-t)^{p-1}}{(p-1)!}\, f^{(p)}(x+th)(h,\dots,h)\,dt$$

für $p\to{\infty}$ gegen 0 konvergiert, so konvergiert die Taylor-Reihe

$$\sum_{j} \frac{f^{(j)}(x)(h,\dots,h)}{j!}\to f(x+h).$$

Falls $E=\mathbb{R}$ ist, so ist $f^{(j)}(x)(h,\dots,h)=f^{(j)}(x)\,h^j$ und darum schreibt man auch allgemein bisweilen $h^j$ anstelle von $(h,\dots,h)$.

Z.B. ist dies für $\exp$, $\sin$ und $\cos$ der Fall da $\exp^{(p)}=\exp$, $\vert\sin^{(p)}\vert\leq 1$ und $\vert\cos^{(p)}\vert\leq 1$.

Wir sollten also sogenannte Potenzreihen, d.h. Reihen der Form $\sum_i a_i\,h^i$ näher untersuchen,

5.2.3 Proposition.
Eine Potenzreihe $\sum_{i} a_i x^i$ konvergiert für $x$ falls $\vert x\vert<r$ und divergiert falls $\vert x\vert>r$, wobei $r:=1/{\limsup_n \root n\of{\vert a_n\vert}}$ Konvergenzradius der Reihe heißt. Entsprechend heißt $\{x:\vert x\vert=r\}$ Konvergenzkreis der Reihe.

Dabei dürfen sowohl die Koeffizienten $a_n$ als auch $x$ komplexe Zahlen sein.

Beweis. Nach dem Wurzelkriterium genügt es den Ausdruck

$$\limsup_n \root n\of{\vert a_nx\vert^n} = \vert x\vert\,\limsup_{n} \root n\of{\vert a_n\vert}$$

zu betrachten.     []

5.2.4 Definition. Konvergenz von Funktionen.
Es sei $X$ eine Menge, $F$ ein endlich dimensionaler Euklidischer Raum und $f_{\infty},f_n:X\to F$ Funktionen. Man sagt $f_n$ konvergiert gegen $f_{\infty}$ punktweise, wenn

$$\forall x\in X: \lim_{n\to{\infty}} f_n(x)=f_{\infty}(x), d.h.~$$

$$\forall x\in X\forall\varepsilon >0\exists N\in\mathbb{N}\forall n\geq N: \vert f_{\infty}(x)-f_n(x)\vert<\varepsilon .$$

Die Grenzfunktion $f_{\infty}$ einer punktweisen konvergenten Folge stetiger Funktionen $f_n$ muß jedoch nicht stetig sein, wie das Beispiel $f_1(x):=\frac1{1+x^2}$, $f_n(x):=f_1(nx)=\frac1{1+(nx)^2}\to 0=:f_{\infty}(x)$ zeigt. Deshalb brauchen wir folgende stärkerer die sogenannte gleichmäßige Konvergenz: Man sagt $f_n$ konvergiert gegen $f_{\infty}$ gleichmäßig auf $X$, wenn

$$\forall\varepsilon >0\exists N\in\mathbb{N}\forall n\geq N\forall x\in X: \vert f_{\infty}(x)-f_n(x)\vert<\varepsilon .$$

Offensichtlich ist jede gleichmäßig konvergente Folge auch punktweise konvergent. Nicht aber umgekehrt, wie die Abbildungen $f_n:x\mapsto \frac{nx}{1+(nx)^2}$ zeigen.

Wenn wir die Abstandsfunktion $d_{\infty}(f,g):=\sup_{x\in X}\vert f(x)-g(x)\vert$ auf der Menge der beschränkten Funktionen $f,g:X\to F$ betrachten, so ist die gleichmäßige Konvergenz gerade die Konvergenz bezüglich dieser Metrik. Für die punktweise Konvergenz existiert nur für endliches $X$ eine sie beschreibende Metrik. Wenn man $\Vert f\Vert_{\infty}:=\sup\{\vert f(x)\vert x\in X\}$ setzt, so ist $d_{\infty}(f,g)=\Vert f-g\Vert_{\infty}$.

5.2.5 Proposition.
Es konvergiere $f_n\to f_{\infty}$ gleichmäßig auf $X$ und alle $f_n:X\to F$ seien stetig. Dann ist auch $f_{\infty}$ stetig. In dieser Situation gilt also

$$\lim_{x\to x_0}\lim_{n\to{\infty}} f_n(x)=\lim_{n\to{\infty}}\lim_{x\to x_0} f_n(x).$$

Beweis. Es sei $x_0\in X$ und $\varepsilon >0$. Dann existiert wegen der glm. Konvergenz ein $N\in\mathbb{N}$ s.d. $d_{\infty}(f_n,f_{\infty}><\frac{\varepsilon }3$ für alle $n\geq N$ und wegen der Stetigkeit von $f_N$ ein $\delta >0$ s.d. $d(f_N(x),f_N(x_0))<\frac{\varepsilon }3$ für alle $x\in X$ mit $d(x,x_0)<\delta$. Somit ist

$$d(f_{\infty}(x),f_{\infty}(x_0)) \leq d(f_{\infty}(x),f_N(x)) + d(f_N(x),f_N(x_0)) + d(f_N(x_0),f_{\infty}(x_0))$$

$$\leq d_{\infty}(f_{\infty},f_N) + d(f_N(x),f_N(x_0)) + d_{\infty}(f_N,f_{\infty})$$

$$\leq 3\frac{\varepsilon }3=\varepsilon .{\rm\quad[]}$$

5.2.6 Cauchy'sches Konvergenzkriterium für Funktionen.
Es konvergiert $f_n$ genau dann punktweise, wenn für alle $x\in X$ die Folge $f_n(x)$ eine Cauchy-Folge ist.
Weiters konvergiert $f_n$ genau dann gleichmäßig, wenn

$$\forall \varepsilon >0\exists N\forall n,m\geq N: d_{\infty}(f_n,f_m)\leq\varepsilon .{\rm\quad[]}$$

5.2.7 Kriterium von Weierstrass für gleichmäßige Konvergenz.
Es konvergiere $\sum_k \Vert f_k\Vert_{\infty}$. Dann konvergiert $\sum_k f_k$ gleichmäßig.

Beweis. Es ist $\Vert\sum_{k=n}^{n+p}f_k\Vert _{\infty}\leq \sum_{k=n}^{n+p}\Vert f_k\Vert_{\infty}\to 0$ für $n\to{\infty}$.     []

5.2.8 Proposition. Stetigkeit des Integrals.
Es sei $f_n:[a,b]\to\mathbb{R}$ Riemann-integrierbar und $f_n$ konvergiere gegen $f_{\infty}$ gleichmäßig. Dann ist auch $f_{\infty}$ Riemann-integrierbar und es gilt

$$\int_a^b \lim_{n\to {\infty}}f_n = \lim_{n\to{\infty}} \int_a^b f_n.$$

Beweis. Nach dem Lebesgue'schen Integrabilitätskriterium 4.1.4 ist $f_{\infty}$ Riemann-integrierbar, denn $f_{\infty}$ ist nach 5.2.5 zumindestens dort stetig, wo es alle $f_n$ sind. Wegen $\vert\int_a^b (f-g) \vert\leq \vert b-a\vert\,d_{\infty}(f,g)$ konvergiert $\int_a^b f_n$ gegen $\int_a^b f_{\infty}$.     []

5.2.9 Proposition.
Es sei $f_n:[a,b]\to\mathbb{R}$ differenzierbar, $f_n$ konvergiere gegen $f_{\infty}$ punktweise und $f_n'$ konvergiere gleichmäßig gegen gegen eine Funktion $f_{\infty}^1$. Dann ist $f_{\infty}$ differenzierbar und die Ableitung ist $(f_{\infty})'=f_{\infty}^1$, d.h. es gilt

$$\frac{d}{dx}\lim_{n\to{\infty}} f_n(x)=\lim_{n\to{\infty}}\frac{d}{dx} f_n(x).$$

Beweis. Es ist

$$g_n:x\mapsto \left\{\begin{array}{ll} \frac{f_... ...\ f_n'(x_0)=\int_0^1 f_n'(x_0)\,dx&\text{für }x=x_0 \end{array}\right.$$

stetig in $x$ und konvergiert gleichmäßig in $x$ gegen $g_{\infty}(x):=\int_0^1 f_{\infty}^1(x_0+t(x-x_0))\,dt$. Also ist $g_{\infty}$ stetig und somit ist

$$f_{\infty}^1(x_0) =\int_0^1 f_{\infty}'(x_0)\,dt =g_{\infty}(x_0) =\lim_{x\to x_0} g_{\infty}(x)$$

$$=\lim_{x\to x_0}\frac{f_{\infty}(x)-f_{\infty}(x_0)}{x-x_0} =(f_{\infty})'(x_0).{\rm\quad[]}$$

5.2.10 Theorem.
Potenzreihen konvergieren auf jedem im Inneren des Konvergenzkreises enthaltenen Kreisschreibe gleichmäßig. Sie stellen dort unendlich oft differenzierbare Abbildungen dar. Die Ableitungen und auch das unbestimmte Integral können gliedweise berechnet werden, d.h.

$$\frac{d}{dx}\biggl(\sum_{i=0}^{\infty}a_i x^i\biggr) = \sum_{i=1}^{\infty}a_i\,i\,x^{i-1}$$ und $$\int\biggl(\sum_{i=0}^{\infty}a_i x^i\biggr)\,dx = C+\sum_{i=0}^{\infty}\frac{a_i}{(i+1)!}\, x^{i+1}.$$

Weiters können konvergente Potenreihen addiert werden, im Inneren des Konvergenzkreises können sie multipliziert und auf einer möglicherweise kleineren Kreisscheibe auch dividiert werden falls der Nenner bei 0 nicht verschwindet und ebenso zusammengesetzt werden falls die innere Reihe bei 0 verschwindet. Die Inverse einer konvergenten Potenzreihe mit $a_0=0$ und $a_1\ne 0$ läßt sich ebenfalls in eine konvergente Potenzreihe entwickeln.

Beweis. Es sei $r$ der Konvergenzradius und $0\leq \rho <r$. Dann konvergiert die Reihe für $\vert x\vert\leq\rho$ gleichmäßig, denn wenn $\Vert f\Vert_{\infty}:=\sup\{\vert f(x)\vert:\vert x\vert\leq \rho \}$ bezeichnet, so ist $\sum_j \Vert a_j p_j \Vert_{\infty}=\sum_j \vert a_j\vert\,rh^j<{\infty}$, wobei $p_j$ das Monom $p_j(x):=x^j$ bezeichnet, und somit folgt das Resultat aus 5.2.7.

Man zeigt nun nacheinander, daß $p:x\mapsto \sum_{j=0}^{\infty}a_j x^j$ stetig ist bei 0, daß für $\vert x_0\vert<r$ auch

$$x\mapsto p(x_0+x) =\sum_{j=0}^{\infty}a_j(x_0+x)^j= \sum_{j=0}^{\infty}a_j\sum_k \binom{j}{k} x_0^{j-k}\,x^k$$

$$=\sum_{k=0}^{\infty}\Biggl( \sum_{j\geq k} a_j\binom{j}{k} x_0^{j-k}\Biggr)x^k$$

eine konvergente Potenzreihe für $\vert x\vert<r-\vert x_0\vert$ mit Koeffizienten

$$b_k:=\sum_{j\geq k} a_j\binom{j}{k} x_0^{j-k}$$

darstellt, und somit $p$ auch bei $x_0$ stetig ist. Für den Differenzenquotient von $p$ bei $x_0$ erhalten wir

$$\frac{p(x_0+h)-p(x_0)}{h}=\sum_{k=1}^{\infty}b_k\,h^{k-1} \to b_1= \sum_{j\geq 1} a_j\,j\,x_0^{j-1}.$$

Offensichtlich konvergiert mit $\sum_k a_k x^k$ auch $\sum_k \frac{a_k}{k+1}x^{k+1}$ und stellt nach dem zuvorgesagten eine differenzierbare Funktion mit Ableitung $p$ dar, ist also ein unbestimmtes Integral nach dem Hauptsatz 4.2.2.

Nach 1.3.6 sind Summen konvergenter Reihen konvergent und nach 1.5.17 Produkte absolut konvergenter Reihen.

Sei nun $f(x):=\sum_{k=0}^{\infty}f_k x^k$ mit $0=f(0)=f_0$ und $g(y):=\sum_{k=0}^{\infty}g_k y^k$. Man kann zeigen, daß $g\o f$ in eine Potenzreihe entwickeln läßt, die für $x$ mit $\vert x\vert$ kleiner als der Konvergenzradius von $f$ und $\vert f(x)\vert$ kleiner als der Konvergenzradius von $g$ auch konvergiert,

$$g(f(x)) =\sum_{k=0}^{\infty}g_k (\sum_{j=0}^{\infty}f_j x^j)^k$$

$$=g_0 + g_1\,(f_0 + f_1\, x+ f_2\, x^2+\dots) +$$

$$\quad+ g_2\,(f_0^2 + 2\,f_0\,f_1\,x+ (f_1^2+f_0\,f_0)\,x^2+\dots) +\dots.$$

Da $\frac1{f(x)}=\frac1{f(x)-f(0)+f(0)}=g(f(x)-f_0)$, wobei

$$g(y):=\frac1{y+f_0}=\frac1{f_0}\frac1{1+\frac{... ...infty}(-\frac{y}{f_0})^k= \sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k f_0^{k+1}}y^k$$

für $\vert y\vert<f_0$ ist, folgt die Aussage über Kehrwerte und damit über Quotienten aus jener für die Komposition.

Wegen dem inversen Funktionensatz ist die Summenfunktion $f$ einer konvergenten Potenzreihe lokal invertierbar, falls $0\ne f'(0)=f_1$ ist. Wegen $f(0)=f_0=0$ kann man $f^{-1}$ ebenfalls in eine Reihe entwickeln.     []

Beispiele.
Es sei $f(x):=\ln(1+x)$. Dann ist $f'(x)=\frac1{1+x}=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k x^k$ und somit nach (gliedweiser) Integration $f(x)=C+\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k+1}\,x^{k+1}$. Wegen $\ln(1)=0$ ist $C=0$, d.h.

$$\ln(1+x) = \sum_{j=1}^{\infty}\frac{(-1)^{j-1}}{j}\,x^j$$ für $$\vert x\vert<1.$$

Mit Hilfe des Abel'schen Grenzwertsatzes kann man zeigen, daß diese Formel auch für $x=1$ gilt, also

$$\ln(2)=\sum_{j=0}^{\infty}\frac{(-1)^{j}}{j+1}=1-\frac12+\frac13-\frac14+\frac15-+\dots$$

ist.

Lemma.
Es sei $f(x)=\sum_{k=0}^{\infty}f_k x^k$ eine Potenzreihe mit Konvergenzradius $r>0$. Falls eine Folge $x_n\in f^{-1}(0)$ existiert mit $x_n\to 0$, dann ist $f=0$.

Beweis. Wir zeigen mittels Induktion, daß $f_n=0$ ist. Aus der Stetigkeit von $f$ folgt $0=f(x_n)\to f(0)=f_0$, also ist $f_0=0$. Sei nun bereits $f_0=\dots=f_n=0$ und $g(x):=\frac{f(x)}{x^{n+1}}=\sum_{k=0}^{\infty} f_{n+1+k}\,x^k$, also ebenfalls eine konvergente Potenzreihe, die bei allen $x_j$ verschwindet. Somit ist auch $f_{n+1+0}=0$.     []

5.2.11 Beispiel.
Es ist $\tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}$. Und

$$\sin(x) =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{2k+1}x^{2k+1} = x -\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-+\dots$$

$$\cos(x) =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{2k}x^{2k} = 1 - \frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{3!}-+\dots$$

Da nach obigen Theorem auch der Quotient $\tan=\frac{\sin}{\cos}$ ein konvergente Potenzreihe $\sum_k c_k x^k$ ist, können wir nach dem letzten Lemma Koeffizientenvergleich machen und erhalten aus

$$\begin{multline*} (c_0+c_1x+c_2x^2+c_3x^3+c_4x^4+c_5x^5+\dots)\cdot (1 -\frac12 ... ...1{24}x^4-+\dots) = \\ = (x -\frac16x^3 + \frac1{120}x^5-+\dots) \end{multline*}$$

die Koeffizienten

$$c_0=0,\; c_1=1,\; c_2=0,\; c_3=\frac13,\; c_4=0,\; c_5=\frac{2}{15},\dots.$$

5.2.12 Beispiel.
Es sei $f:x\mapsto (1+x)^\alpha$. Dann ist $f^{(p)}(x)=\alpha \cdot(\alpha -1)\cdot\dots\cdot (\alpha -p+1)\,(1+x)^{\alpha -p}$, also ist die Taylorreihe

$$\sum_{i} \frac{(\alpha )_i}{i!} x^i = \sum_i \binom{\alpha }{i}\,x^i$$

und diese konvergiert für $0<x<1$ gegen $f(x)=(1+x)^\alpha$, denn das Restglied ist

$$\int_0^1 \frac{(1-t)^{p-1}}{(p-1)!}\, (\alpha )_p(1+tx)^{\alpha -p} x^p\,dt\to 0.$$

Man kan mit etwas Aufwand (siehe [Heuser]) zeigen, daß die Formel für alle $\vert x\vert<1$ gilt.

5.2.13 Bemerkung. Komplexe Differenzierbarkeit.
Für Abbildungen $f:\mathbb{C}\supseteq U\to\mathbb{C}$ haben wir auch die Möglichkeit eine Ableitung $f'(z)\in\mathbb{C}$ analog zum 1-dimensionalen reellen Fall zu definieren:

$$f'(z):=\lim_{\mathbb{C}\ni w\to 0}\frac{f(z+w)-f(z)}{w}.$$

Falls dieser Limes für alle $z\in U$ existiert nennt man $f$ komplex-differenzierbar oder kurz holomorph.

Was ist nun der Zusammenhang zu der linearen Approximation

$$\begin{pmatrix}\d _1 f_1 & \d _2 f_1 \\ \d _1 f_2 & \d _2 f_2 \end{pmatrix},$$

wenn wir $f$ als Abbildung $\mathbb{R}^2\supseteq U\to\mathbb{R}^2$ auffassen mit $f_1(x,y):=\Re\frak e(f(x+i\,y))$, $f_2(x,y):=\Im\frak m f(x+i\,y)$. Komplexe Zahlen $a+i\,b$ wirken auf $\binom{x}{y}\in \mathbb{R}^2$ durch Multiplikation $x+i\,y\mapsto (a+i\,b)\cdot (x+i\,y)=(ax-by)+i(ay+bx)$. Diese Wirkung ist (sogar $\mathbb{C}$-)linear und wird durch die Matrix

$$\begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix}$$

beschrieben. In der Tat ist nun die zur komplexen Zahl $f'(z)\in\mathbb{C}$ gehörende Matrix gerade

$$\begin{pmatrix} \d _1 f_1(z) & \d _2f_1(z) \\ \d _1 f_2(z) & \d _2f_2(z) \\ \end{pmatrix}$$

und es gelten die Cauchy-Riemann'schen Differentialgleichungen $\d _1 f=\d _2 f_2$ sowie $\d _1 f_2=-\d _2 f_1$, denn

$$\d _1 f_1(x,y) =\lim_{h\to 0}\frac{f_1(x+h,y)-f_1(x,y)}{h}=\Re\frak e(f'(z))$$

$$\d _1 f_2(x,y) =\lim_{h\to 0}\frac{f_2(x+h,y)-f_2(x,y)}{h}=\Im\frak m(f'(z))$$

$$\d _2 f_1(x,y) =\lim_{h\to 0}\frac{f_1(x,y+h)-f_1(x,y)}{h}$$

$$=\lim_{h\to 0}i\frac{(\Re\frak e\o f)(x+iy+ih)-(\Re\frak e\o f)(x+iy+ih)}{ih} =-\Im\frak m f'(z)$$

$$\d _2 f_2(x,y) =\lim_{h\to 0}\frac{f_2(x,y+h)-f_2(x,y)}{h}=\Re(f'(z)).$$

Man kann umgekehrt zeigen, daß jedes reell-differenzierbare $f$ welches die Cauchy-Riemann'schen Differentialgleichungen erfüllt komplex differenzierbar ist.

Weiters läßt sich jede komplex differenzierbare Abbildung $f:\mathbb{C}\supseteq U\to\mathbb{C}$ auf jeder Kreisscheibe in $U$ in eine konvergente Potenzreihe entwickeln und ist somit insbesonders unendlich oft (komplex) differenzierbar.

5.2.14 Theorem. Glatte Lösungen von Gleichungen.
Folgende Sätze gelten auch für $n$-mal stetig differenzierbare und auch für glatte Abbildungen:

(1)

Inverse Funktionen Satz; Genauer ist die Glg. $C^n$ so auch die $C^1$-Lösung.

(2)

Implizite Funktionen Satz; Genauer ist die Glg. $C^n$ so auch die $C^1$-Lösung.

(3)

Die Inversion $\operatorname{inv}:\operatorname{Inv}(A)\to A$ von $A:=GL(E)$ ist $C^n$.

(4)

Aus $f:E\supseteq U\to F$ $C^n$ folgt $f_*:C(I,E)\supseteq C(I,U)\to C(I,F)$ $C^n$.

(5)

Existenz und Eindeutigkeitssatz für Differentialgleichungen; Genauer ist die Glg. $C^n$ so auch die $C^1$-Lösung.

Beweis. Wir zeigen dies mittels Induktion nach $n$. Der Induktionsanfang ( $n=1$) haben wir bereits in 3.3.4, 3.3.6, erledigt. Nun der Induktionsschritt auf $(n+1)$:

(1)

Für die Inverse $g:=f^{-1}$ von $f$ gilt $g'(y)=\operatorname{inv}(f'(g(y)))$, d.h.

$$g'=\operatorname{inv}\o f'\o g$$

nach 3.3.4 und nach (3) ist $\operatorname{inv}$ $C^n$, nach Voraussetzung ist $f'$ $C^n$ und nach (2) ist $g$ $C^n$, also ist $g'$ $C^n$ nach der Kettenregel, d.h. $g$ ist $C^{n+1}$.

(2)

Die Lösung $g$ der impliziten Gleichung $f(x,g(x,z))=z$ ist nach Induktionsanfang $C^1$ mit

$$\d _1 g(x,z) = - \d _2 f(x,g(x,z))^{-1}\cdot \d _1 f(x,g(x,z))$$

$$\d _2 g(x,z) = - \d _2 f(x,g(x,z))^{-1}.$$

Die rechte Seite ist $C^n$ nach Induktionsvoraussetzung für (3) und (2) also ist $g$ $C^{n+1}$ nach 3.3.3.

(3)

D ies ist ein spezial-Fall von (2).

(4) Beachte, daß wir für $n=1$ erhalten haben, daß $(f_*)'=\beta \o (f')_*$. Wobei $\beta$ stetig und linear ist. Also folgt mittels Induktion, daß $(f')_*$ $C^n$ ist und damit auch $(f_*)'$, also $f_*$ $C^{n+1}$ ist.

(5) Im Beweis für $C^1$, haben wir ein implizite Lösung $\bar x:\mathbb{R}\times P\to C^1_0$ erhalten. Diese ist nun nach (4) und (2) auch $C^{n+1}$, also ist $x_p(t):=\bar x_{\varepsilon t/t_0,p}(t_0/\varepsilon )$ in $(t,p)$ $C^{n+1}$ und der Definitionsbereich hat sich nicht verkleinert.

Für zeitabhängige Differentialgleichungen mit einer allgemeinen Anfangsbedingung folgt das nun ebenso wie im $C^1$-Fall.     []