13 Euklid'ische Geometrie

Bislang haben wir nur die Addition und Skalarmultiplikation verwendet. In der Ebene und im Raum können wir aber auch Abstände und Winkel messen. Diese Operationen sehen wir uns nun näher an.

13.1 Definition.
Die Länge eines Vektors $x=(x_1,\dots,x_n)\in\mathbb{R}^n$ ist nach dem pythagoräischen Lehrsatz und Induktion

$$\Vert x\Vert:=\sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i)^2}.$$

Will man auch Winkel $\varphi$ zwischen Vektoren $x$ und $y$ messen, so benötigt man ein Hypothemuse und Ankathete in einem entsprechenden rechtwinkeligen Dreieck, also die in (Bezug auf $y$ orientierte) Länge der Normalprojektion $x_y$ eines Vektors $x$ auf einen anderen Vektor $y$ um $\varphi$ aus $\cos(\varphi )=\frac{x_y}{\vert x\vert}$ zu berechnen. Diese Abbildung $x\mapsto x_y$ muß in $x$ offensichtlich linear sein und für $x:=y$ den Wert $\vert y\vert$ liefern.

Multipliziert man $x_y$ mit $\vert y\vert$ so gilt dies für das Ergebnis $\langle x\vert y\rangle=x_y\,\vert y\vert=\cos(\varphi )\,\vert x\vert\,\vert y\vert$ noch immer und zusätzlich ist dieser Ausdruck nun symmetrisch in $x$ und $y$ und damit auch linear in der zweiten Variable $y$. Es muß also $\langle\_\vert\_\rangle$ eine symmetrische bilineare Abbildung sein, die $\langle y\vert y\rangle=\vert y\vert^2\geq 0$ liefert und auf orthogonalen $x$ und $y$ verschwindet.

Auf einen Vektorraum nennt man eine symmetrische bilineare Abbildung $\langle\_\vert\_\rangle$ die positiv definit ist, d.h.  $\langle a\vert a\rangle>0$ für alle $a\ne 0$ erfüllt, ein skalares Produkt (im Unterschied zur skalar-Multiplikation $(\lambda ,x)\mapsto \lambda \cdot x$).

13.2 Bemerkung.
Jede bilineare Abbildung $G:V\times W\to \mathbb{K}$ ist wie folgt duch eine Matrix $(g_{i,j})_{i,j}$ (die Gram'sche Matrix) bezüglich Basen $B=(v_1,\dots,v_p)$ von $V$ und $C=(w_1,\dots,w_q)$ von W gegeben

$$G(x,y) = G(\sum_i x_i v_i,\sum_j y_j w_j) = \sum_{i,j} x_i y_j \undersetbrace{=:g_{i,j}}\to{G(v_i,w_j)},$$

d.h. $G(x,y)=[x]^t\cdot [G]\cdot [y]$. Am $\mathbb{R}^n$ ist $\langle\_\vert\_\rangle$ somit durch

$$\langle x\vert y\rangle = \sum_{i,j} x_i\,y_j\,\langle e_i\vert e_j\rangle =\sum_i x_i\,y_i=x^t\cdot y$$

gegeben. Beachte, daß $\langle Ax\vert y\rangle =(A\cdot x)^t\cdot y=x^t\cdot A^t\cdot y=\langle x\vert A^ty \rangle$ gilt.

13.3 Bemerkung.
Die Gram'sche Matrix $(g_{i,j})_{i,j}$ einer bilinearen Abbildung $G:V\times V\to \mathbb{K}$ ist genau dann symmetrisch, d.h. stimmt mir der Transponierten überein, wenn $G$ symmetrisch ist, d.h. $G(x,y)=G(y,x)$ für alle $x,y\in V$ gilt.

Man kann zeigen, daß folgendes gilt:

13.4 Proposition.
Eine symmetrische Bilinearform $G:\mathbb{K}^n\times \mathbb{K}^n\to\mathbb{K}$ ist genau dann positiv definit, wenn für alle $1\leq k\leq n$ die Hauptminore $\det((g_{i,j})_{i,j\leq k})$ positiv ist.

13.5 Definition.
Ist $\langle\_\vert\_\rangle$ ein skalares Produkt auf $V$, so können wir die Länge eines Vektors als

$$\vert v\vert:=\sqrt{\langle v\vert v\rangle}$$

definieren und den Winkel $\varphi$ zweier Vektoren $x\ne 0$ und $y\ne 0$ durch die Formel

$$\cos(\varphi ):=\frac{\langle x\vert y\rangle}{\vert x\vert\,\vert y\vert}.$$

Dazu benötigen wir folgendes:

13.6 Ungleichung von Cauchy-Schwarz.
Für jedes skalare Produkt $\langle\_\vert\_\rangle:V\times V\to\mathbb{K}$ gilt die Ungleichung $\vert\langle x\vert y\rangle\vert\leq \vert x\vert\,\vert y\vert$ für alle $x,y\in V$. Gleichheit gilt genau dann, wenn $\{x,y\}$ linear abhängig ist.

Beweis. Es ist $0\leq \vert x-\lambda \,y\vert^2 =\langle x-\lambda y\vert ... ...t x\vert^2-2\,\lambda \,\langle x\vert y\rangle+\lambda ^2\vert y\vert^2$ und somit existiert höchstens eine reelle (Doppel-)Nullstelle dieses Polynoms in $\lambda$, also ist die Diskriminante $\langle x\vert y\rangle^2 - \vert x\vert^2\,\vert y\vert^2 \leq 0$ der quadratischen Gleichung.     []

13.7 Lemma.
Es sei $\langle\_\vert\_\rangle:V\times v\to\mathbb{K}$ ein skalares Produkt und $\Vert x\Vert:=\sqrt{\langle x,x\rangle}$. Dann gilt, die Norm $\vert\_\vert$ erfüllt die positive Homogenität $\vert\lambda \,x\vert=\vert\lambda \vert\,\vert x\vert$, die Dreiecksungleichung $\vert x+y\vert\leq\vert x\vert+\vert y\vert$ sowie die Parallelogramformel $\vert x+y\vert^2+\vert x-y\vert^2=2(\vert x\vert^2+\vert y\vert^2)$.

Beweis.

$$\vert x+y\vert^2 = \langle x+y\vert x+y\rangle = \vert x\vert^2+\vert y\vert^2+2\langle x\vert y\rangle$$

$$\leq \vert x\vert^2 + \vert y\vert^2 + 2\vert x\vert\,\vert y\vert = (\vert x\vert+\vert y\vert)^2$$

$$\vert x+y\vert^2+\vert x-y\vert^2 = \langle x+y\vert x+y\rangle + \langle x-y\vert x-y\rangle$$

$$= \langle x\vert x \rangle + \langle x\vert y \rangle + \langle y\vert x \rangle+ \langle y\vert y \rangle$$

$$+ \langle x\vert x \rangle - \langle x\vert y \rangle - \langle y\vert x \rangle + \langle y\vert y \rangle$$

$$= 2(\vert x\vert^2+\vert y\vert^2)$$

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13.8 Definition.
Man sagt zwei Vektoren $x$ und $y$ stehen rechtwinkelig (oder orthogonal) aufeinander und man schreibt $x\perp y$ genau dann, wenn $\langle x\vert y\rangle=0$ ist.

Für $W\subseteq V$ bezeichnet $W^\perp:=\{x\in V:x\perp w\forall w\in W\}$ das orthogonale Komplement von $W$. Falls $W$ ein Teilraum ist, dann ist offensichtlich $W^\perp$ ein Komplementärraum zum $W$ im Sinne von (8.19).

Eine Familie $(u_1,\dots,u_k)$ heißt orthogonal-System, falls die Vektoren paarweise orthogonal stehen, d.h. $\langle u_i\vert u_j\rangle=0$ für alle $i\ne j$.

Eine Familie $(u_1,\dots,u_k)$ heißt orthonormal-System, falls diese Vektoren paarweise orthogonal stehen und Länge 1 besitzen, d.h. $\langle u_i\vert u_j\rangle=\de_{i,j}$ für alle $i,j$.

Eine Basis, die ein orthonormal-System ist, heißt orthonormal-Basis.

Der folgende Satz ermöglicht uns aus eine beliebigen Basis eine orthonormal-Basis zu gewinnen.

13.9 Gram-Schmidt'sches Orthonormalisierungsverfahren.
Es seien $(a_1,\dots,a_n)$ linear unabhängig. Wir konstruieren rekursiv ein orthonormal-System $(u_1,\dots,u_n)$, welches den selben Teilraum erzeugt. Es sei $u_1:=\frac1{\vert a_1\vert}\,a_1$ ( $a_1\ne 0$, da linear unabhängig). Es sei $v_k:=a_k-\sum_{j\leq k}\langle a_j\vert u_j\rangle u_j$ und $u_k:=\frac1{\vert v_k\vert}v_k$. Offensichtlich erzeugt $\{a_1,\dots,a_k\}$ den selben Teilraum wie $\{u_1,\dots,u_k\}$. Weiters ist $\vert v_k\vert\ne 0$, denn sonst wäre $a_k$ eine Linearkombination von $\{u_1,\dots,u_{k-1}\}$ und damit auch von $\{a_1,\dots,a_{k-1}\}$, also $\{a_1,\dots,a_k\}$ linear abhängig.

13.10 Definition.
Eine (lineare) Abbildung $A$ heißt Isometrie (oder Längenbewahrend), wenn $\vert A(x)\vert=\vert x\vert$ für alle $x$ gilt. Wegen der Polarisierungsgleichung $2\langle x\vert y\rangle =\vert x+y\vert^2-\vert x\vert^2-\vert y\vert^2$ ist dann auch $\langle Ax\vert Ay\rangle=\langle x\vert y\rangle$ und die Abbildung somit auch Winkelbewahrend und weiters ist somit $A^t\,A=\operatorname{id}$, d.h.  $A$ ist regulär mit inverser $A^t$. Insbesonders ist $1=\det(\operatorname{id})=\det(A^t)\,\det(A)=\det(A)^2$, d.h. $\det(A)\in\{\pm 1\}$, also bis auf ein mögliches Vorzeichen $A$ auch Volumsbewahrend.

Eine reelle Matrix $A\in L_\mathbb{R}(n,n)$ heißt symmetrisch, wenn $A^t=A$ ist, d.h. $\langle x\vert Ay\rangle=\langle A^t x\vert y\rangle=\langle Ax\vert y\rangle$ für alle $x,y\in\mathbb{R}^n$ gilt.

13.11 Proposition.
Eine lineare Abbildung $A$ ist genau dann eine Isometrie, wenn sie orthogonal ist, d.h. die Spalten einer Matrixdarstellung bzgl. orthonormal-Basen eine orthonormal-Basis bilden.

Beweis. Es ist $A^t\cdot A=\operatorname{id}$ genau dann, wenn $\de_{i,k}=\sum_j a_{j,i}\cdot a_{i,k}= \langle a_i,a_k\rangle$ ist.     []

13.12 Definition.
Ein orthogonale Abbildung mit $\det(A)=-1$ heißt uneigentlich orthogonal. Insbesonders gilt dies für die Spiegelung an der normalen Hyperebene $v^\perp$ zu einem Einheitsvektor $v$ gegeben durch $x\mapsto x-2\langle x\vert v\rangle v$.

13.13 Bemerkung.
Man kann zeigen, daß jede orthogonale Matrix eine Zusammensetzung von Spiegelungen ist.

13.14 Definition.
Falls eine orthogonale Matrix positive Determinante hat, so heißt sie eigentlich orthogonal. Insbesonders gilt dies für die Zusammensetzung zweier Spiegelungen, d.h. eine Drehung um $v^\perp\cap w^\perp$ mit Winkel $\varphi :=\angle(v,w)/2$.

13.15 Proposition.
Es sei $A\in L(\mathbb{K}^n,\mathbb{K}^m)$. Dann ist das orthogonale Komplement des Bildes $\operatorname{Bild}(A)$ von $A$ gerade der Kern $\operatorname{Ker}(A^t)$ der transponierten Abbildung $A^t\in L(\mathbb{K}^m,\mathbb{K}^2)$, d.h.

$$\operatorname{Bild}(A)^\perp = \operatorname{Ker}(A^t).$$

Beweis. Für $w\in\mathbb{K}^m$ gilt nach (13.2):

$$w\in \operatorname{Bild}(A)^\perp \Leftrightarrow 0=\langle A(v)\vert w\rangle =\langle v\vert A^t w\rangle v\in\mathbb{K}^n$$

$$\Leftrightarrow A^t(v) v$$

$$\Leftrightarrow A^t(v)=0$$

$$\Leftrightarrow v\in \operatorname{Ker}(A^t).{\rm\quad[]}$$

13.16 Volumen des Parallelipipeds.
Die Fläche des von zwei Vektoren $a$ und $b$ aufgespannten Parallelogramms ist $F=\vert a\vert\,\vert h\vert=\langle a\vert h\rangle$, wobei die Höhe $h=b-\langle \frac{a}{\vert a\vert}\vert b\rangle \frac{a}{\vert a\vert}$ ist. Also

$$F^2 =\vert a\vert^2\,\Bigl(\vert b\vert^2 -2\frac{\langle a\vert b\ra... ...\rangle\,\langle b\vert b\rangle-\langle a\vert b\rangle\langle b\vert a\rangle$$

$$= \det\begin{pmatrix}\langle a\vert a\rangle & \langle a\vert b\rangle \\ \langle b\vert a\rangle & \langle b\vert b\rangle \end{pmatrix} .$$

Entsprechend läßt sich zeigen, daß das $k$-dimensionale Volumen des von $k$ Vektoren $a_1,\dots,a_k$ im $\mathbb{R}^n$ aufgespannten Parallelipipeds

$$\sqrt{\det(\langle a_i\vert a_j\rangle)_{i,j})_{i,j\leq k}} =\sqrt{\det(A^t\,A)}=\sqrt{\det(A)^2}=\vert\det(A)\vert$$

ist.

13.17 Vektorprodukt.
Für Vektoren $x,y\in\mathbb{R}^3$ ist das Kreuzprodukt $x\times y:=(x_2y_3-y_2x_3,x_3y_1-x_1y_3,x_1y_2-x_2y_1)$. Die Abbildung $\times$ ist bilinear, $\langle x\times y\vert x\rangle=0=\langle x\times y\vert y\rangle$, $\Vert x\times y\Vert^2=\vert x\vert^2\,\vert y\vert^2-\langle x\vert y\rangle^2$ und $\det(x,y,z)=\langle x\vert y\times z\rangle$.

14.5 Definition. Metrik komplexer Vektorräume.
Für $\mathbb{K}=\mathbb{C}$ definiert man die Länge eines Vektors $z=(z_1,\dots,z_n)\in\mathbb{C}^n$ als Länge des zugehörigen reellen Vektors $(x_1,y_1,\dots,x_n,y_n)\in\mathbb{R}^{2n}$, wobei $z_j=x_j+i\,y_j$ die Zerlegung der komplexen Koordinaten in Real- und Imaginärteil ist, d.h. $\vert z\vert:=\sqrt{x_1^2+y_1^2+\dots+x_n^2+y_n^2}=\sqrt{\sum_j \vert z_j\vert^2}= \sqrt{\sum_j z_j\cdot \overline{z_j}}$. Wie im reellen Fall suchen wir nun ebenfalls eine Abbildung $\langle\_\vert\_\rangle_\mathbb{C}:V\times V\to\mathbb{C}$, welche $\langle x\vert x\rangle_\mathbb{C}=\vert x\vert^2$ erfüllt. Dazu konjugiert man den zweiten Vektor in der Formel $\langle x\vert y\rangle_\mathbb{C}=x^t\cdot \overline{y}$. Es ist $\langle x\vert y\rangle_\mathbb{C}=\overline{\langle y\vert x\rangle_\mathbb{C}}$ und somit $\mathbb{C}$-linear in der ersten Variable und konjugiert linear (d.h. $f(x+\lambda \,y)=f(x)+\overline{\lambda }\,f(y)$) in der zweiten.