18.3 Uneigentliche Integrale

18.3.1 Definition. Uneigentliche Integrale.
Wir wollen nun auch Integrale $\int_I f$ behandeln, bei denen entweder der Integrand $f$ oder der Integrationsbereich $I$ unbeschränkt ist. In diesen Fall spricht man von uneigentlichen Integralen und definiert z.B. falls $f$ bei $b$ unbeschränkt aber auf jeden Teilintervall $[a,\beta ]$ von $I:=[a,b]$ mit $a<\beta <b$ Riemann-integrierbar ist:

$$\int_a^b f := \lim_{\beta \to b-} \int_{a}^{\beta } f$$

Ist andererseits $I$ unbeschränkt also z.B. $b=+{\infty}$ dann setzen wir

$$\int_a^{+{\infty}} f := \lim_{\beta \to+{\infty}} \int_a^{\beta } f$$

18.3.2 Beispiele uneigentlicher Integrale.

1. Es existiert $\int_0^1\frac1x dx$ nicht, da
   $$\lim_{t\to 0+}\int_t^1\frac1x dx=\lim_{t\to 0+}\operatorname{ln}(1)-\operatorname{ln}(t)=+{\infty}.$$

2. Ebenso existiert $\int_1^{+{\infty}}\frac1x dx$ nicht, da
   $$\lim_{t\to+{\infty}}\int_1^t \frac1x dx =\lim_{t\to+{\infty}}\operatorname{ln}(t)-\operatorname{ln}(1)=+{\infty}.$$
   

3. Es existiert $\int_0^1\frac1{x^\alpha } dx$ falls $0<\alpha <1$, denn
   $$\lim_{t\to 0+}\int_t^1\frac1{x^\alpha } dx=\lim_{t\to 0+}\frac1{1-\alpha }-\frac{1}{1-\alpha } t^{1-\alpha }=\frac1{1-\alpha }.$$

4. Es existiert $\int_1^{+{\infty}}\frac1{x^\alpha } dx$ falls $1<\alpha$, denn
   $$\lim_{t\to +{\infty}}\int_1^t\frac1{x^\alpha } dx=\lim_{t\to+{\infty}} \frac{1}{(1-\alpha )t^{\alpha -1}}-\frac1{1-\alpha }=\frac1{\alpha -1}.$$
   

5. Es ist

   $$\int_0^1\frac1{\sqrt{1-x^2}} dx =\lim_{t\to 1-}\int_0^t \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} =\lim_{t\to1-}\arcsin(t)=\arcsin(1)=\frac{\pi}2$$

   $$\int_{-1}^1\frac1{\sqrt{1-x^2}} dx =\int_{-1}^0 \frac1{\sqrt{1-x^2}} dx + \int_0^1\frac1{\sqrt{1-x^2}} dx$$

   $$=\int_{1}^0 \frac1{\sqrt{1-(-y)^2}} (-dy) + \int_0^1\frac1{\sqrt{1-x^2}} dx$$

   $$= 2 \int_0^1 \frac1{\sqrt{1-x^2}} dx=2\frac{\pi}2=\pi$$

   
   
   Dieses Integral kann durch die Substitutionen $x=1/y$, $y=\cosh(t)$ und $s=e^t$ wie folgt umgeformt werden:

   $$\int_0^1\frac1{\sqrt{1-x^2}} dx = \int_{{\infty}}^1 \frac1{\sqrt{1-(1/y)^2}} (-\frac1{y^2} dy) = \int_1^{\infty}\frac1{y\sqrt{y^2-1}} dy$$

   $$= \int_0^{\infty}\frac1{\cosh(t) \sinh(t)} \sinh(t) dt = \int_0^{\infty}\frac{dt}{\cosh(t)}$$

   $$=\int_0^{\infty}\frac{2 dt}{e^t+e^{-t}} = \int_1^{\infty}\frac{2}{s+1/s} \frac{ds}{s} = 2 \int_1^{\infty}\frac{ds}{1+s^2}.$$

   
   

6. Es ist

   $$\int_{-{\infty}}^{+{\infty}}\frac{dx}{1+x^2} =\lim_{s\to+{\infty}}\lim_{t\to-{\infty}}\int_t^s \frac{dx}{1+x^2}$$

   $$=\lim_{s\to+{\infty}}\lim_{t\to-{\infty}}\int_t^s \arctan(s)-\arctan(t)$$

   $$=\frac{\pi}2-\frac{-\pi}2=\pi.$$

   
   
   

18.3.3 Lemma. Cauchy-Kriterium für uneigentliche Integrale.
Es existiere $\int_a^\beta f$ für alle $a<\beta <b$. Dann existiert das uneigentliche Integral $\int_a^b f$ genau dann wenn $\int_{\beta _1}^{\beta _2}f\to 0$ für $\beta _1,\beta _2\to b$.

18.3.4 Proposition. Integralkriterium für Reihenkonvergenz.
Es sei $f:[0,+{\infty})\to [0,+{\infty})$ uneigentlich Riemann-integrierbar und $\vert a_n\vert\leq f(x)$ für $n\leq x\leq n+1$. Dann konvergiert $\sum_k a_k$ absolut.

Beweis. Es ist $\sum_{k=0}^n \vert a_k\vert\leq \int_0^{n+1}f\leq \int_0^{+{\infty}}f<+{\infty}$.     []

Beispiel.
Wir haben in (18.3.2) gesehen, daß das uneigentliche Integral $\int_1^{\infty}\frac1{x^\alpha } dx$ für $\alpha >1$ existiert. Also ist $\sum_k \frac1{k^\alpha }$ für diese $\alpha$ konvergent.

18.3.5 Definition. Euler'sche Gammafunktion.
Uner der Euler'sche Gammafunktion versteht man die Funktion

$$\Gamma (x):=\int_0^{+{\infty}}e^{-t} t^{x-1} dt$$ für $$x>0.$$

Daß dieses uneigentliche Integral existiert, sieht man wie folgt: Es ist $t\mapsto e^{-t} t^{x-1}$ stetig und $\int_0^1 e^{-t} t^{x-1} dt\leq \int_0^1 t^{x-1} dt =\lim_{a\to 0+} \frac{t^x}{x}\vert _{t=a}^{1}=\frac{1}{x}<{\infty}$. Andererseits ist $\lim_{t\to+{\infty}} e^{-t/2} t^{x-1}=0$ nach der Regel von L'Hospital, und somit existiert ein $C>0$ mit $e^{-t/2} t^{x-1}\leq C$ und damit

$$\int_1^{\infty}e^{-t} t^{x-1} dt\leq \int_1^{\infty}e^{-t/2} C dt<{\infty}.$$

18.3.6 Lemma. Gammafunktion als Fortsetzung von Faktorielle.
Es gilt folgende Rekursionsformel für die Euler'sche Gamma-Funktion:

$$\Gamma (x+1)=x \Gamma (x).$$

Insbesonders ist $\Gamma (n+1):=n!$ für $n\in\mathbb{N}$, d.h. $\Gamma$ definiert eine Erweiterung der Faktorielle-Funktion von $\mathbb{N}$ auf $\{t\in\mathbb{R}:t>-1\}$.

Beweis. Es ist $\Gamma (1)=\int_0^{\infty}e^{-t} t^0 dt = \lim_{\beta \to+{\infty}} -e^{-t}\vert _{t=0}^{\beta }=1$. Weiters ist

$$\Gamma (x+1) = \int_0^{\infty}e^{-t} t^{x} dt$$

$$= \Bigl.-e^{-t} t^x\Bigr\vert _{t=0}^{\infty}- \int_0^{\infty}(-e^{-t}) x t^{x-1} dt = x \Gamma (x).$$

    []

18.3.8 Bemerkung.
Man kann zeigen, daß $\Gamma (x)\cdot\Gamma (1-x)=\frac{\pi}{\sin(\pi x)}$ für $0<x\notin\mathbb{N}$ (siehe [Heuser, Analysis 2, Seite 198]). Insbesonders ist

$$\Gamma (1/2)^2=\frac{\pi}{\sin(\pi/2)}=\pi\Rightarrow \Gamma (1/2)=\sqrt{\pi}.$$

Substitution liefert

$$\Gamma (1/2)=\int_0^{\infty}e^{-t} t^{-1/2} ... ...}\frac1{s} 2s ds=\int_{-{\infty}}^{+{\infty}}e^{-s^2} ds=\sqrt{\pi}.$$

18.3.7 Bemerkung. Integration von Kurven im Mehrdimensionalen.
Der Hauptsatz (18.2.2) läßt sich wie folgt auf's mehrdimensionale übertragen. Wenn $f=(f_1,\dots,f_m):\mathbb{R}\supseteq I\to F=\mathbb{R}^m$ ist, dann verstehen wir unter dem Riemann-Integral $\int_I f$ den Vektor

$$\int_I f := \Bigl(\int_I f_1,\dots,\int_I f_m\Bigr)\in F.$$

Für stetig differenzierbares $f:I=[a,b]\to F$ gilt somit $f(b)-f(a)=\int_a^b f'(t) dt$ in $F$.

Ist nun $f:E\supseteq U\to F$ $C^1$ und die Strecke $\overline{a b}:=\{a+t(b-a)\}\subseteq U$, dann ist $c(t):=f(a+t (b-a))$ $C^1$ als Zusammensetzung mit der affinen Funktion $t\mapsto a+t (b-a)$ und hat Ableitung $c'(t)=f'(a+t (b-a))\cdot(b-a)$. Nach dem Hauptsatz angewendet auf die Kurve $c$ ist somit

$$f(b)-f(a)=c(1)-c(0)=\int_0^1 c'(t) dt = \int_0^1 f'(a+t (b-a))(b-a) dt.$$