20.6 Integralsätze

Wir wollen Pendants zum Hauptsatz (18.2.2) für mehrfach-Integrale finden.

20.6.1 Proposition. Länge von Kurven.
Es sei $c:[a,b]\to E$ eine Kurve. Unter der Länge $L_a^b(c)$ der Kurve versteht man das Supremum der Länge aller interpolierenden Polygonzüge, d.h.

$$L_a^b(c) := \sup\{L(c, Z): Z [a,b]\}$$

$$L(c, Z) := \sum_{i=1}^m \vert c(t_i)-c(t_{i-1})\vert Z=\{a=t_0<\dots<t_m=b\}$$

Falls $c$ $C^1$ ist, so ist

$$L_a^b(c) = \int_a^b \vert c'\vert.$$

Beweis. Wegen dem Hauptsatz (18.2.2) und dem Mittelwertsatz (18.1.10) der Integralrechnung ist

$$L(c, Z) =\sum_{i=1}^m \vert c(t_i)-c(t_{i-1})\vert =\sum_{i=1}^m \vert\int_{t_{i-1}}^{t_i} c'(t)\vert dt$$

$$\leq \sum_{i=1}^m \int_{t_{i-1}}^{t_i} \vert c'(t)\vert dt = \int_{a}^{b} \vert c'(t)\vert dt,$$

also

$$L_a^b(c) = \sup\{L(c, Z): Z\}\leq \int_a^b \vert c'\vert.$$

Somit ist

$$\vert\frac{c(t+h)-c(t)}{h}\vert \leq \vert\frac1h L_t^{t+h}(c)\ve... ..._a^{t+h}(c)-L_a^t{c}}{h} \leq \vert\frac1h\int_t^{t+h}\vert c'(s)\vert ds\vert$$

und Grenzübergang für $t\to 0$ liefert

$$\frac{d}{dt}L_a^t(c)=\lim_{h\to 0} \frac{L_a^{t+h}(c)-L_a^t{c}}{h} = \vert c'(t)\vert.$$

Nun folgt das Resultat aus dem Hauptsatz.     []

Geometrische Interpretation des Kurvenintegrals.

Sei nun $f=(f_1,\dots,f_n):B\to \mathbb{R}^n$ ein Vektorfeld und $\tilde f=\sum_i f_i(x) dx^i$ die zugehörige 1-Form $\tilde f:\mathbb{R}^n\supseteq B\to L(\mathbb{R}^n,\mathbb{R})\cong\mathbb{R}^n$. Nach der Kettenregel (17.2.3) hängt das Kurvenintegral nicht von der Parametrisierung (sondern nur deren Orientierung) ab, wir können $\int_B \tilde f := \int_c \tilde f$ setzen, und brauchen uns bei $B$ nicht die Parametrisierung sondern nur die Durchlaufungsrichtung merken. Weiters ist

$$\int_B f := \int_B \tilde f = \int_c \sum_i f_i(x) dx_i = \int_a^b \sum_i f_i(c(t)) c_i'(t) dt$$

$$= \int_a^b \langle f(c(t)), c'(t)\rangle dt \overset{c'(t)\ne 0}... ...t}}\rangle \undersetbrace{=:\operatorname{vol}_c(t)}\to{\Vert c'(t)\Vert dt}$$

$$= \int_c \langle f\o c,\tau _c \rangle \operatorname{vol}_c$$

$$=: \int_B \langle f,\tau _B \rangle \operatorname{vol}_B c .$$

Dabei bezeichnet $\tau _B(c(t)):=\tau _c(t):=\frac{c'(t)}{\Vert c'(t)\Vert}$ den Einheitstangentialvektor an $B$ im Punkte $c(t)$ und $\operatorname{vol}_B$ ist nur ein Symbol (wie $dt$ im 1-dimensionalen Riemannintegral) und heißt des Längenelement oder auch 1-dimensionale Volumselement. Beachte, daß

$$\int_I \operatorname{vol}_c = \int_I \Vert c'(t)\Vert dt$$

die Länge von $c$ ist, und $\operatorname{vol}_c(t)$ somit die Infinitesimale Version der Länge ist:

$$\operatorname{vol}_{c}(t) = \Vert c'(t_0)\Vert... ...\vert\to 0, t_0\in I} \frac1{\vert I\vert} \int_I \Vert c'(t)\Vert dt.$$

Beachte weiters, daß $\tau _B$ das Vorzeichen ändert, wenn die Parametrisierung umgekehrt wird.

20.6.2 Der Gauß'sche Integralsatz in der Ebene.
Es sei $B=M(\varphi _1,\varphi _2)$ mit $\varphi _i:[a,b]\to\mathbb{R}$ eine Ordinaten-Menge mit $C^1$-Grenzen $\varphi _1$ und $\varphi _2$. Es sei $(p,q)$ ein $C^1$-Vektorfeld auf $B$ und $(x,y)\mapsto p(x,y) dx + q(x,y) dy$ die zugehörige 1-Form. Der Rand von $B$ wird durch folgende 4 Kurven positiv orientiert parametrisiert:

$$c_1(t) := \binom{t}{\varphi _1(t)},$$

$$c_2(t) := \binom{b}{t},$$

$$c_3(t) := \binom{t}{\varphi _2(t)} ,$$

$$c_4(t) := \binom{a}{t} .$$

Also ist

$$\int_{\d B} p(x,y) dx = \int_{c_1} + \undersetbrace{=0}\to{\int_{c_2}} - \int_{c_3} - \undersetbrace{=0}\to{\int_{c_4}}$$

$$= \int_a^b p(t,\varphi _1(t))\cdot 1\cdot dt - \int_a^b p(t,\varphi _2(t))\cdot 1\cdot dt$$

$$= \int_a^b [p(t,y)]_{y=\varphi _2(t)}^{y=\varphi _1(t)} dt$$

$$= \int_a^b \int_{\varphi _2(t)}^{\varphi _1(t)} \d _2 p(t,y) dy dt$$

$$= -\int_a^b \int_{\varphi _1(t)}^{\varphi _2(t)} \d _2 p(t,y) dy dt$$

$$B$$

$$= -\int_B \d _2 p.\int_{\d B} q(x,y) dy = \int_B \d _1 q$$
und somit

$$\int_{\d B} p(x,y) dx + q(x,y) dy = \int_B \left(\frac{\d q}{\d x}-\frac{\d p}{\d y}\right)(x,y) d(x,y).$$

Das zeigt den

Gauß'scher Integralsatz in der Ebene.
Es sei $B$ eine Ordinatenmenge bezüglich beiden Achsen mit $C^1$ Rändern. Weiters sei $\d B$ der positiv orientierte Rand. Das Vektorfeld $(p,q):B\to\mathbb{R}^2$ sei $C^1$. Dann ist

$$\int_{\d B} p dx + q dy = \int_B \d _1 q - \d _2 p.{\rm\quad[]}$$

Insbesonders folgt mit $p(x,y):=-y$ und $q(x,y):=x$

20.6.3 Folgerung. Fläche via Kurvenintegral.
Es sei $B$ eine Ordinatenmenge bezüglich beiden Achsen und stetiger Funktionen beschränkter Variation. Weiters sei $\d B$ der positiv orientierte Rand. Dann ist

$$\vert B\vert = \frac12 \int_{\d B} (x dy-y dx).{\rm\quad[]}$$

Ist $B$ gegeben durch alle Punkte mit Polarkoordinaten $(r,\varphi )$ die $0\leq r\leq r(\varphi )$ erfüllen, so ist

$$\vert B\vert = \frac12 \int_{0}^{2\pi} r(\varphi )^2 d\varphi .$$

Beachte, daß also $x dy-y dx$ eine somit recht nützliche aber dennoch nicht-exakte 1-Form ist.

Beweis Der Rand $\d B$ wird in der letztgenannten Situation durch die Kurve $c:t\mapsto (r(t) \cos(t),r(t) \sin(t))$ mit Ableitung

$$c'(t)=(r'(t) \cos(t)-r(t) \sin(t),r'(t) \sin(t)+r(t) \cos(t))$$

beschrieben. Somit ist

$$\int_{\d B} (x dy-y dx) = \int_0^{2\pi} r(t) \cos(t) \Bigl(r'(t) \sin(t)+r(t) \cos(t)\Bigr)$$

$$\qquad -r(t) \sin(t) \Bigl(r'(t) \cos(t)-r(t) \sin(t)\Bigr) dt$$

$$= \int_0^{2\pi} r(t)^2 (\cos(t)^2+\sin(t)^2) dt =\int_0^{2\pi} r(\varphi )^2 d\varphi .{\rm\quad[]}$$

Für die Kreisscheibe $B$ mit Radius $r$ ergibt sich daraus nun sehr einfach

$$\vert B\vert=\frac12\int_0^{2\pi} r^2 d\varphi =r^2 \pi.$$

Geometrische Interpretation.
Für das Vektorfeld $f=(f_1,f_2)=(p,q):\mathbb{R}^2\supseteq B\to\mathbb{R}^2$ definieren wir eine Funktion

$$\operatorname{rot}f := \frac{\d q}{\d x} -... ...{\d y} = \d _1 f_2 - \d _2 f_1 : \mathbb{R}^2\supseteq B\to \mathbb{R},$$

die Rotation von $f$. Der Gauß'sche Integralsatz ließt sich dann wie folgt:

$$\int_{\d B} \langle f,\tau _{\d B}\rangle \operatorname{vol}_{\d B} = \int_B \operatorname{rot}f,$$

wobei $\tau _{\d B}$ der Einheitstangentialvektor an $\d B$ und $\operatorname{vol}_{\d B}$ das 1-dimensionale Volumselement von $\d B$ ist. Die linke Seite ist die Arbeit von $f$ längs $\d B$ (das Mittel des Tangentialanteils von $f$) und somit ist

$$\operatorname{rot}f(x) = \lim_{\vert B\vert\to 0,x\in B} \frac1{\vert B\vert} \int_B \operatorname{rot}f$$ die Wirbeldichte$$.$$

Diese mißt wie sehr der Fluß des Vektorfelds um den Punkt $x$ herumfließt.

Es sei $g:=(g_1,g_2)=(q,-p)$, d.h. $f=g^{\perp}$, der positiv gedrehte Normalvektor. Dann ist

$$\operatorname{rot}f = \frac{\d q}{\d x} - \frac{\d p}{\d y} = \d _1 g_1 + \d _2 g_2 =: \operatorname{div}g,$$

und

$$\langle f,\tau _{\d B} \rangle = \langle g... ...= \langle g, - \tau _{\d B}^\perp\rangle = \langle g,\nu_{\d B}\rangle,$$

wobei $\nu_{\d B}$ der nach außen weisende Einheits-Normalvektor ist. Der Gauß'sche Integralsatz hat nun also die Form

$$\int_{\d B} \langle g,\nu_{\d B}\rangle \operatorname{vol}_{\d B} = \int_B \operatorname{div}f.$$

Die linke Seite mißt nun die Durchflußmenge durch $\d B$ und somit ist

$$\operatorname{div}f(x) = \lim_{B\to 0,x\in B} \frac1{\vert B\vert} \int_B \operatorname{div}f$$ die Quelldichte$$.$$

Das Vektorfeld $f$ heißt wirbelfrei $:\Leftrightarrow$ $\operatorname{rot}f=0$. Es heißt quellenfrei $:\Leftrightarrow$ $\operatorname{div}f=0$.

20.6.4 Definition. Fläche in $\mathbb{R}^3$.
Unter einer Fläche $S$ im $\mathbb{R}^3$ verstehen wir eine Teilmenge $S\subseteq \mathbb{R}^3$ zusammen mit einer $C^1$-Parametrisierung $\Phi =(x,y,z):K\to S\subseteq\mathbb{R}^3$ mit $K\subseteq \mathbb{R}^2$ $J$-meßbar und kompakt.

20.6.5 Der Stokes'sche Integralsatz im Raum.
Es sei $f=(p,q,r)$ ein $C^1$-Vektorfeld auf $\Phi (K)$, mit $\Phi$ $C^2$ (!) und der Rand $\d K$ sei durch eine $C^1$-Kurve $c=(u,v):[a,b]\to \mathbb{R}^2$ parametrisiert. Mit $\d S$ bezeichnen wir die durch $\Phi \o c$ parametrisierte Kurve $\Phi (\d K)$. Dies ist nicht der topologische Rand von $S\subseteq \mathbb{R}^3$. Dann ist

$$\int_{\d S} p dx = \int_{\Phi \o c} p(x,y,z) dx = \int_a^b p(x(c(t)),y(c(t)),z(c(t))) (x\o c)'(t) dt$$

$$= \int_a^b p\cdot \left(\frac{\d x}{\d u}\cdot \frac{du}{dt} +\fr... ...\int_c p\cdot \left(\frac{\d x}{\d u}\cdot du +\frac{\d x}{\d v}\cdot dv\right)$$

$$\overset{\text{Gauß{}}}= \int_K \left(\frac{\d }{\d u}\left(p\cdo... ...}{\d v}\right) - \frac{\d }{\d v}\left(p\cdot \frac{\d x}{\d u}\right)\right) =$$

$$\Phi C^2$$

$$\frac{\d }{\d u}\left(p\cdot \frac{\d x}{\d v}\right) - \frac{\d }{\d v}\left(p\cdot \frac{\d x}{\d u}\right) =$$

$$\quad = \frac{\d p}{\d u}\cdot \frac{\d x}{\d v} + p\cdot \frac{\... ... v} -\frac{\d p}{\d v}\cdot \frac{\d x}{\d u} - p\cdot \frac{\d ^2 x}{\d v\d u}$$

$$\quad = \left(\frac{\d p}{\d x}\cdot \frac{\d x}{\d u} +\frac{\d ... ...}{\d u} +\frac{\d p}{\d z}\cdot \frac{\d z}{\d u}\right)\cdot \frac{\d x}{\d v}$$

$$\qquad -\left(\frac{\d p}{\d x}\cdot \frac{\d x}{\d v} +\frac{\d ... ...}{\d v} +\frac{\d p}{\d z}\cdot \frac{\d z}{\d v}\right)\cdot \frac{\d x}{\d u}$$

$$\quad = \frac{\d p}{\d y}\Bigl( \undersetbrace{-\det\frac{\d (x,y... ...{\frac{\d z}{\d u}\frac{\d x}{\d v} - \frac{\d z}{\d v}\frac{\d x}{\d u}}\Bigr)$$
somit gilt weiter

$$= \int_K \left(\frac{\d p}{\d z}\cdot\det\frac{\d (z,x)}{\d (u,v)} - \frac{\d p}{\d y}\cdot\det\frac{\d (x,y)}{\d (u,v)} \right) d(u,v) =$$
Wir setzen

$$\quad dz\wedge dx := \det\frac{\d (z,x)}{\d (u,v)}, \quad dx\wedge dy := \det\frac{\d (x,y)}{\d (u,v)},\quad\dots$$
und erhalten schließlich

$$= \int_K \frac{\d p}{\d z} dz\wedge dx - \frac{\d p}{\d y} {dx\wedge dy}$$
und analog oder durch zyklisches Vertauschen

$$\int_{\d S} q dy = \int_K \frac{\d q}{\d x} dx\wedge dy -\frac{\d q}{\d z} dy\wedge dz$$

$$\int_{\d S} r dz = \int_K \frac{\d r}{\d y} dy\wedge dz -\frac{\d r}{\d x} dz\wedge dx$$
und insgesamt also

$$\int_{\d S} f = \int_K \left(\tfrac{\d q}{\d x}-\tfrac{\d p}{\d y}\right) dx\... ...dy\wedge dz + \left(\tfrac{\d p}{\d z}-\tfrac{\d r}{\d x}\right) dz\wedge dx.$$

Zum $C^1$-Vektorfeld $f=(p,q,r):\mathbb{R}^3\supseteq S\to \mathbb{R}^3$ definieren wir nun ein neues Vektorfeld

$$\operatorname{rot}f = \operatorname{rot}(p... ... p}{\d z}-\frac{\d r}{\d x}, \frac{\d q}{\d x}-\frac{\d p}{\d y}\Bigr),$$

die Rotation des Vektorfelds. Als Memotechnik ist

$$\operatorname{rot}f = \left(\det\left(\begin{matrix}\frac{\d }{\d y} & q \frac{\d ... ...matrix}\frac{\d }{\d x} & p \frac{\d }{\d y} & q \end{matrix}\right) \right)$$

$$= \det\left(\begin{matrix}e_1 & \frac{\d }{\d x} & p e_2 & \fr... ...{\d y} & q e_3 & \frac{\d }{\d z} & r \end{matrix}\right) = \nabla \times f,$$
wobei

$$\nabla := \left(\begin{matrix}\frac{\d }{\d x} \frac{\d }{\d y} \frac{\d }{\d z} \end{matrix}\right) \quad a\times b := \det \left(\begin{matrix}e_1 & a_1 & b_1 e_2 & a_2 & b_2 e_3 & a_3 & b_3 \end{matrix}\right)$$

das Kreuzprodukt von Vektoren im $\mathbb{R}^3$ ist. Dies ist durch folgende Eigenschaften geometrisch charakterisiert: $a\times b\perp a,b$, weiters ist $(a\times b,a,b)$ positiv orientiert, und $\vert a\times b\vert$ ist die Fläche des Parallelogramms, das von $(a,b)$ aufgespannt wird: Es ist

$$\langle v,a\times b\rangle = \det( v,a,b) \Rightarrow a\times b\perp a,b$$

$$\det(a\times b,a,b) = \det\left(\begin{matrix}\det\left(\begin{matrix}a_2 & b_2 a_... ...trix}a_1 & b_1 a_2 & b_2 \end{matrix}\right) & a_3 & b_3 \end{matrix}\right)$$

$$= \det\left(\begin{matrix}a_2 & b_2 a_3 & b_3 \end{matrix}\rig... ...right)^2 + \det\left(\begin{matrix}a_1 & b_1 a_2 & b_2 \end{matrix}\right)^2$$

$$= \vert a\times b\vert^2 \geq 0$$
und andererseits

$$\det(a\times b,a,b) = \vert a\times b\vert\cdot (a,b)$$

$$\Rightarrow \vert a\times b\vert = (a,b)$$

Es sei $g=(a,b,c):\mathbb{R}^3\supseteq S\to\mathbb{R}^3$ ein stetiges Vektorfeld (wie z.B. $g=\operatorname{rot}F$). Wir definieren ein Integral von $g$ über $\Phi :K\to S$ als

$$\int_\Phi g := \int_K a\o\Phi dy\wedge dz + b\o\Phi dz\wedge dx + c\o\Phi dx\wedge dy$$

$$\quad dy\wedge dz := \det\left(\frac{\d (y,z)}{\d (u,v)}\right).$$

Dieses Integral ist Reparametrisierungsinvariant, denn wenn $h:(r,s)\mapsto(u,v)$ eine Orientierungs-erhaltende (d.h. $\det h'(r,s)\geq 0$) Substitutionsfunktion $h:K'\to K$ ist, dann ist wegen der Kettenregel

$$\det\left(\frac{\d (y,z)}{\d (r,s)}\right)... ...,z)}{\d (u,v)}\right) \cdot \det\left(\frac{\d (u,v)}{\d (r,s)}\right)$$

und somit wegen der Transformationsformel

$$\int_{\Phi } g = \int_{\Phi \o h} g$$

und wir können

$$\int_S g := \int_\Phi g$$

setzen, müssen uns dabei aber die ``Orientierung'' von $S$ merken. Damit erhalten wir schließlich den

Satz von Stokes für Flächen im 3-dimensionalen.
Es sei $K\subseteq \mathbb{R}^2$ eine Ordinatenmenge bezüglich beider Achsen mit $C^1$-Grenzen und Rand $\d K$ der durch eine $C^1$-Kurve $c:[a,b]\to\d K$ parametrisiert werden kann. Weiters sei $\Phi :\mathbb{R}^2\supseteq K\to \mathbb{R}^3$ $C^2$ und $f$ ein $C^1$-Vektorfeld auf $S:=\Phi (K)$. Dann ist

$$\int_{\d S} f = \int_S \operatorname{rot}f.{\rm\quad[]}$$

Geometrische Interpretation.
Nach obigen können wir die linke Seite geometrisch als

$$\int_{\d S}\langle f,\tau _{\d S}\rangle \operatorname{vol}_{\d S}$$

interpretieren. Nun zur rechten Seite: Es ist die zugehörige 2-Form zum Vektorfeld $\operatorname{rot}f$ gerade

$$\begin{multline*} \left(\tfrac{\d q}{\d x}-\tfrac{\d p}{\d y}\right) dx\wedge ... ...c{\d\Phi }{\d u}\times \tfrac{\d\Phi }{\d v}\Bigr\rangle d(u,v), \end{multline*}$$

denn

$$\Phi '(u,v) = \frac{\d (x,y,z)}{\d (u,v)} ... ...y}{\d v} \\ \frac{\d z}{\d u} & \frac{\d z}{\d v} \end{matrix}\right).$$

Somit ist

$$\int_S \operatorname{rot}f = \int_K \langle \operatorname{rot}f,\nu_\Phi \rangle \operatorname{vol}_\Phi ,$$

wobei

$$\nu_\Phi (u,v) := \frac{\tfrac{\d\Phi }{\d... ... := \Vert\tfrac{\d\Phi }{\d u}\times \tfrac{\d\Phi }{\d v}\Vert d(u,v)$$

die Einheitsnormale an die Fläche und das Oberflächen- oder 2-dimensionale Volumselement bezeichnet. Dies beiden Objekte sind wohldefiniert, falls $\{\d _1\Phi (u,v),\d _2\Phi (u,v)\}$ linear unabhängig ist, d.h. $\Phi '(u,v)$ (maximalen) Rang 2 hat. Beachte, daß für $C^1$-Parametrisierungen $\Phi :K\to S$ und stetiges $\rho :S\to\mathbb{R}$ folgendes Integral

$$\int_\Phi \rho \o\Phi \operatorname{vol}... ...Vert\frac{\d\Phi }{\d u}\times \frac{\d\Phi }{\d v}\Bigr\Vert d(u,v)}.$$

reparametrisierungsinvariant ist, denn wenn $g:(r,s)\mapsto(u,v)$ eine (nicht notwendigerweise Orientierungs-erhaltende) Substitutionsfunktion ist, dann ist

$$\frac{\d\Phi }{\d r}\times \frac{\d\Phi }{\d s} = \Bigl(\frac{\d\Phi }{\d u} \frac{\d u}{\d r} + \frac{\d\Phi }{... ...Phi }{\d u} \frac{\d u}{\d s} + \frac{\d\Phi }{\d v} \frac{\d v}{\d s} \Bigr)$$

$$= \frac{\d u}{\d r} \frac{\d u}{\d s} \undersetbrace{=0}\to{... ...u}{\d r} \frac{\d v}{\d s} \frac{\d\Phi }{\d u}\times \frac{\d\Phi }{\d v}$$

$$\quad+ \frac{\d v}{\d r} \frac{\d u}{\d s} \undersetbrace{- ... ...\d s} \undersetbrace{=0}\to{\frac{\d\Phi }{\d v}\times \frac{\d\Phi }{\d v}}$$

$$= \det\left(\frac{\d (u,v)}{\d (r,s)}\right)\cdot \left(\frac{\d\Phi }{\d u}\times \frac{\d\Phi }{\d v}\right).$$

Es macht also Sinn folgende Definition zu geben:

$$\int_S \rho \operatorname{vol}_S := \int_\Phi \rho \o\Phi \operatorname{vol}_\Phi$$

und dies kann als Masse von $S$ bzgl. der Dichtefunktion $\rho$ aufgefaßt werden, oder im Spezialfall $\rho =1$ als Oberfläche von $S$. Dabei ist wieder $\operatorname{vol}_S$ nur ein Symbol (das Oberflächenelement von $S$ heißt) und dazu dient, die definierende rechte Seite zu imitieren. In der Tat sind die Riemann-Summen von $\int_K \rho \o\Phi \operatorname{vol}_\Phi$ gerade

$$R(\rho \o\Phi \operatorname{vol}_\Phi ) = \sum_{I,J} \rho (\Phi (\xi _I,\eta _J))\cdot \undersetbrace{=\t... ...Phi \times \d _2\Phi )(\xi _I,\eta _J) \Bigr\Vert \vert I\vert \vert J\vert}$$

$$\approx \sum_{I,J} \rho (\Phi (\xi _I,\eta _J))\cdot ( I\times J \Phi )$$

$$= K \Phi .$$

Im Fall, daß $\Phi$ injektiv ist (und natürlich noch immer der Rang von $\Phi '$ gleich 2 ist) können wir die Einheitsnormale an die Fläche $S$ als

$$\nu_S(\Phi (u,v)):=\nu_{\Phi }(u,v):= \fra... ...hi }{\d v}} {\Vert\frac{\d\Phi }{\d u}\times \frac{\d\Phi }{\d v}\Vert}$$

definieren. Diese steht normal auf $\d _1\Phi$ und $\d _2\Phi$ und somit an jede Richtungsableitung (d.h. Tangentialvektor an die Fläche $S$) $d_w\Phi$ für $w\in\mathbb{R}^2$. Der Satz von Stokes hat nun folgende geometrische Form:

$$\int_{\d S} \langle f, \tau _{\d S}\rangle... ...\int_S \langle \operatorname{rot}f,\nu_S\rangle \operatorname{vol}_S.$$

Der Anteil der Rotation $\operatorname{rot}f$ in Richtung eines Vektors $\nu$ mißt also wieder die Wirbeldichte von $f$ in der Ebene $S$ die normal auf $\nu$ steht.

Beispiel.
Die Sphäre wird durch $\Phi :(\varphi ,\th )\mapsto (\cos(\varphi )\cos(\th ),\sin(\varphi )\cos(\th ),\sin(\th ))$ mit $K:=[0,2\pi]\times [-\pi/2,\pi/2]$ parametrisiert. Somit ist die Oberfläche der Sphäre durch

$$\int_K \left\Vert\frac{\d\Phi }{\d\varphi }\times \frac{\d\Phi }{\d\th }\right\Vert d(\varphi ,\th )$$

gegeben. Wir erhalten:

$$\Phi '(\varphi ,\th ) = \left(\begin{matrix}-\cos(\th )\sin(\varphi ) & -\sin(\th )\cos... ...cos(\varphi ) & -\sin(\th )\sin(\varphi ) 0 & \cos(\th ) \end{matrix}\right)$$

$$\Rightarrow \frac{\d\Phi }{\d\varphi }\times \frac{\d\Phi }{\d\th } = \left(\begin{matrix}\cos(\th )^2\cos(\varphi ) \cos(\th )^2\... ...\sin(\th )\cos(\th ) \end{matrix}\right) = \cos(\th )\cdot \Phi (\varphi ,\th )$$

Somit ist die Oberfläche

$$\int_K \left\Vert\frac{\d\Phi }{\d\varphi }\times \frac{\d\Phi }{\d\th }\right\Vert d(\varphi ,\th ) = \int_K \vert\cos(\th )\Vert \oversetbrace 1\to {\Vert\Phi \Vert} d(\varphi ,\th )$$

$$= \int_0^{2\pi}\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos(\th ) d\th d\varphi = 2\pi\cdot [\sin(\th )]_{\th =-\pi/2}^{\pi/2} = 4\pi.$$

20.6.6 Definition. Normalbereich.
Unter einem $C^1$-Normalbereich bezüglich der $xy$-Ebene verstehen wir eine Ordinatenmenge

$$B=\{(x,y,z):(x,y)\in K,\varphi _1(x,y)\leq z\leq\varphi _2(x,y)\}$$

wobei $K\subseteq \mathbb{R}^2$ kompakt ( $J$-meßbar $\Leftarrow$) $\d K$ $C^1$-parametrisierbar und $\varphi _1\leq\varphi _2:K\to\mathbb{R}$ stetig sind. Die Deckel sind dann durch $S_i:=\operatorname{graph}(\varphi _i)$ für $i=1,2$ gegeben und der Mantel $S_0:=\{(x,y,z):(x,y)\in\d K, \varphi _1(x,y)\leq z\leq\varphi _2(x,y)\}$. Wir benötigen eine $C^1$-Parametrisierung der Oberfläche $\d B=S_0\cup S_1\cup S_2$. Da in wichtigen Beispielen (Kugel) die $\varphi _i$ aber nicht überall differenzierbar sind, fordern wir zusätzlich die Existenz von Substitutionsfunktionen $g_i:K_i\to K$, s.d. $\varphi _i\o g$ $C^1$ ist. Dann ist $\Phi _i:K_i\to S_i$ eine Parametrisierung von $S_i$ für $i\in\{0,1,2\}$, wobei $K_0:=\{(u,v):u\in[a,b],\varphi _1(c(u))\leq v\leq\varphi _2(c(u))\}$, weiters $c:[a,b]\to\d K$ eine positiv orientierte $C^1$-Parametrisierung von $\d K$ ist, und

$$\Phi _i(u,v) := \left\{\begin{array}{ll} (... ...=0 (g_i(u,v),\varphi _i(g_i(u,v))) &\text{sonst.} \end{array}\right.$$

Wir benötigen noch, daß die Orientierung dieser Parametrisierungen paßt, d.h. der Normalvektor $\nu_\Phi$ nach außen weißt. Dafür folgende Rechnung: Es ist

$$\Phi _i'(u,v) = \left\{\begin{array}{ll} \left(\begin{matrix}x'(u) & 0 y'(u)... ... (\varphi _i\o g_i)'(u,v) \end{matrix}\right) &\text{sonst,}\end{array}\right.$$

$$\Rightarrow \nu_{\Phi _i}(u,v) = \left\{\begin{array}{ll} \left(\begin{matrix}y'(u) -x'(u) \\... ...}* * \det(g_i'(u,v)) \end{matrix}\right) &\text{sonst.}\end{array}\right.$$

Also verlangen wir zusätzlich o.B.d.A. , daß $\det(g_1'(u,v))\leq 0$ und $\det(g_2'(u,v))\geq 0$ für alle $(u,v)$ gilt.

Beispiel.
Der Quader $[a_1,a_2]\times [b_1,b_2]\times [c_1,c_2]$: Dabei ist $K=[a_1,a_2]\times [b_1,b_2]$ und $\varphi _i:=c_i$. Hier müssen wir nicht mehr umparametrisieren, d.h. $K_i:=K$ und $g_i:=\operatorname{id}$.

Die Kugel $\{(x,y,z):x^2+y^2+z^2\leq R^2\}$ mit Radius $R$: Dabei ist $K:=\{(x,y):x^2+y^2\leq \mathbb{R}^2\}$, $\varphi _2(x,y):=\sqrt{R^2-(x^2+y^2)}$, $\varphi _1(x,y):=-\sqrt{R^2-(x^2+y^2)}$. Die $\varphi _i$ sind nun auf $\d K$ nicht mehr differenzierbar. Wir verwenden Kugelkoordinaten zur Umparametrisierung, d.h. $K_1:=[0,2\pi]\times [-\pi/2,0]$, $K_2:=[0,2\pi]\times [0,\pi/2]$ und $g_i(u,v):=R\cos(v)(\cos(u),\sin(u))$. Dann ist $(\varphi _i\o g_i)(u,v)=\pm\sqrt{R^2(1-\cos^2 v)}=R\sin(v)$ $C^{\infty}$ in $(u,v)$.

20.6.7 Der Gauß'sche Integralsatz im Raum.
Für stetiges $r:B\to\mathbb{R}$ ist

$$\int_{\d B} r dx\wedge dy = \sum_{i=1}^3 \int_{S_i} r(x,y,z) dx\wedge dy$$

Weiters ist

$$\int_S r(x,y,z) dx\wedge dy = \int_K r(\Phi (u,v)) \det\frac{\d (x,y)}{\d (u,v)} d(u,v).$$

Da

$$\frac{\d (x,y)}{\d (u,v)} = \left\{\begin{... ...0) &\text{für }i=0 \\ (g_i'(u,v)) &\text{für }i=1,2 \end{array}\right.$$

ist das Integral 0 für $i=0$ und für $i=1,2$ ist

$$\int_{S_i} r(x,y,z) dx\wedge dy = \int_{K_i} r(g_i(u,v),\varphi _i(g_i(u,v))) \det g_i'(u,v) d(u,v)$$

$$= \mp \int_K r(x,y,\varphi _i(x,y)) d(x,y)$$
Folglich ist

$$\int_{\d B} r dx\wedge dy = \int_K [r(x,y,z)]_{z=\varphi _1(x,y)}^{\varphi _2(x,y)} d(x,y)$$

$$\overset{\text{HS}}{=} \int_K\int_{\varphi _1(x,y)}^{\varphi _2(x,y)} \frac{\d }{\d z} r(x,y,z) dz d(x,y)$$

$$= \int_B \frac{\d }{\d z} r(x,y,z) d(x,y,z)$$

$$B C^1$$

$$\int_B \left( \frac{\d }{\d x}p +\frac{\d }{\d y}q+\frac{\d }{\d z}r\right) =\int_{\d B} p\;dy\wedge dz + q\;dz\wedge dx + r\;dx\wedge dy$$

Satz von Gauß im 3-dimensionalen.
Es sei $B$ ein $C^1$-Normalbereich bezüglich aller 3 Koordinatenebenen und $f=(p,q,r)$ ein $C^1$-Vektorfeld auf $B$. Dann ist

$$\int_B \left( \frac{\d }{\d x}p +\frac{\d ... ...nt_{\d B} p dy\wedge dz + q dz\wedge dx + r dx\wedge dy {\rm\quad[]}$$

Geometrische Bedeutung.

Für ein $C^1$-Vektorfeld $f=(p,q,r):\mathbb{R}^3\supseteq B\to\mathbb{R}^3$ definieren wir eine Funktion $\operatorname{div}f:B\to \mathbb{R}$ durch $\operatorname{div}f:=\d _1 p + \d _2 q + \d _3 r$. Dann ist

$$\int_B \operatorname{div}f = \int_{\d B} \langle f,\nu_{\d B}\rangle \operatorname{vol}_{\d B}.$$

Die rechte Seite beschreibt wie im 2-dimensionalen die Quellenergiebigkeit oder auch Quellenstärke des Bereichs $B$, und somit nennt man $\operatorname{div}f$ die Quellendichte des Vektorfelds $f$.

glossary

index