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Funktionalanalysis

LVA Nummer: 250090
LVA Typ: VO
Semesterwochenst./ECTS: 3/5
Zeit und Ort: Mo, Mi. 11:30-13:00 Hörsaal 13, (OMP 1)
Beginn: 4.3.2019


Neuigkeiten (neueste oben):



Allgemeines: In der Analysis bzw. ihren Anwendungen stellt sich heraus, dass es in vielen Fällen sinnvoll ist, Funktionen als Elemente eines geeigneten (Vektor-)Raumes aufzufassen---also als Punkte in einem Funktionenraum. Ein Ihnen bekanntes Beispiel ist vermutlich der Satz über die Lösbarkeit gewöhnlicher Differentialgleichungen (Picard-Lindelöf): hier wird die (eindeutige) Lösung als Fixpunkt einer Kontraktionsabbildung auf einem vollständigen metrischen Raum von stetigen Funktionen gewonnen.
Die Funktionalanalysis ist diejenige Displizpin der Mathematik, in der Funktionen und Folgen (oder auch Folgen von Funktionen) konsequent als Punkte in Vektorräumen aufgefasst und systematisch diese Vektorräume und die Abbildungen zwischen ihnen studiert werden. Bei etwas genauerem Hinsehen bemerkt man, dass sich nur dann eine reichhaltige Theorie ergibt, wenn die enstprechenden Vektorräume mit einer Topologie versehen werden: diese erlaubt es nämlich die Kernbegriffe der Analysis---Konvergenz und Stetigkeit---ins Spiel zu bringen. So gesehen ist die Funktionalanalysis das Studium dieser topologischen Vektorräume.
Etwas spezieller werden wir uns vor allem mit den Grundlagen der linearen, normierten Funktionalanalysis befassen, d.h. Vektorräume, die mit einer Norm, oder (noch spezieller) mit einem Skalarprodukt versehen sind, und die stetigen linearen Abbildungen zwischen ihnen studieren.
Methodisch lebt die Funktionalanalysis von dem sich daraus ergebenden Zusammenspiel von analytischen und (linear-)algebraischen Techniken. Gewissermaßen könnte man die Funktionalanalysis als die Zusammenführung der Analysis mit der linearen Algebra sehen.

Der Grundstein der Funktionalanalysis wurde zu Beginn des vorigen Jahrhunderts vor allem von David Hilbert, Erhard Schmidt und Marcel Riesz gelegt. In den 1920er und 1930er Jahren wurde die Theorie---auch in Wechselwirkung mit der gerade enstehenden Quantenmechanik---von John von Neumann, sowie der "polnischen Schule", allen voran Stefan Banach in ihre heutige Form gebracht. Heute sind funktionalanalytische Resultate grundlegend für viele Gebiete der Mathematik (Partielle Differentialgleichungen, Numerik, Wahrscheinlichkeitstheorie, Approximationstheorie) und der theoretischen Physik (Quanten(feld)theorie).

Inhalt: Diese Vorlesung bietet eine Einführung in die Funktionalanalysis mit den Schwerpunkten:
Literatur: In vielen Teilen der Vorlesung habe ich mich von den Büchern von John B. Conway (A Course in Functional Analysis, Second Edition, Springer Graduate Texts in Mathematics, Band 96, 1997) und von Dirk Werner (Funktionalanalysis, Springer, Berlin, 8. Auflage 2018) leiten lassen. Eine (etwas ältere) kommentierte Literaturliste findet sich hier.

Vorwissen: Grundlage zum Verständnis der Vorlesung ist die solide Kenntnis des Analysis- sowie des Lineare Algebra Zyklus. Ebenso werden die Inhalte der Vorlesung "Grundbegriffe der Topologie" vorausgesetzt. In Fragen der Anwendungen werden Sie sich sicher leichter zurechtfinden, falls sie bereits die gewöhnlichen und die partiellen Differentialgleichungen besucht haben.

Zielpublikum: Bachelorstudierende der Mathematik, aber auch Studierende der (theoretischen) Physik, die einen Blick hinter die Kulissen riskieren wollen.

Bemerkung: Die Vorlesung findet teilgeblockt statt. Gewöhnlich finden pro Woche 2 Einheiten zu 90 Minuten, also das Äquivalent von 4 Semesterwochenstunden statt. Im Gegenzug entfällt die Vorlesung fallweise nach (entsprechend rechtzeitiger) Ankündigung.

Positionierung im Studienplan: Modul TFA im Bachelorstudium Mathematik, empfohlen im 6. Semester.

Leistungsbeurteilung: schriftliche Prüfung, Dauer: 120 min.
Erster Termin, Mi. 26.6. 18:30, Hs. 4 (OMP1), weitere Termine rechtzeitig in u:find.
Musterangabe aus dem Jahr 2008, Weitere Details in der Vo. am 27.5.

Prüfungsmaterialien und -statistik

Termin Angabe TeilnehmerInnen Notenschnitt Notenspiegel
1 pdf 27 3.11
Note 1 2 3 4 5
# 6 4 4 7 6
2 pdf 13 3.46
Note 1 2 3 4 5
# 1 3 3 1 5
3 pdf 9 3.56
Note 1 2 3 4 5
# 1 1 2 2 3


Übungen: Die Vorlesung wird von einer 1-stündigen Übung begleitet. In ihr laufen all jene Teile des Lernprozesses ab, die im Rahmen einer Vorlesung nicht effektiv erfolgen können. Ein wirkliches Verständnis der einschlägigen Begriffe und Konzepte ensteht vorwiegend auf Basis beider Veranstaltungen.
Übungen dienen allgemein dem eigenständigen und kreativen Umgang mit dem Stoff. Dies wollen wir (Monika Döfler, Clemens Sämann und R.S.) dadurch erreichen, dass Sie selbständig die Aufgaben der Aufgabensammlung lösen und in den Übungen vortragen und diskutieren. Um dies angesichts der zu erwartenden HörerInnenzahl in effektiver Weise bewerkstelligen zu können, bieten wir 4 Gruppen an. Die Anmeldungen erfolgen ausschließlich über u:find.

Aufgabensammlung: Kapitel 1, Kapitel 2, Kapitel 3 (Teil 1), Kapitel 3 (Teil 2), Kapitel 4, Kapitel 5.