Analysis für das Lehramt

Auf dieser Seite finden Sie alle Informationen zur Analysisausbildung im Lehramt im Sommersemester 2020 und Wintersemester 2020/21. Diese beginnt im Sommersemester 2020 mit dem fachmathematischen Teil, bestehend aus der Vorlesung

• Analysis in einer Variable für das Lehramt

• Schulmathematik Analysis

Allgemeines: Was will und was soll die Analysis?

Inhaltlich beschäftigt sich die Analysis vor allem mit Funktionen, und zwar zunächst mit solchen von R nach R. Ganz allgemein dienen Funktionen dazu, den Zusammenhang zwischen verschiedenen Größen zu beschreiben. Hier meint "beschreiben" nicht "erklären"---das Wort Zusammenhang ist also nicht kausal zu verstehen sondern es geht darum, welche Werte einer Größe zusammen mit welchen Werten einer anderen Größe auftreten. Alltägliche Beispiele sind etwa Verzinsung (Höhe eines Guthabens oder auch eines Schuldenstands zum einem bestimmten Zeitpunkt), Bremsweg (Läge des Bremswegs in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit), Radiokativität (Anzahl der strahlenden Isotope zu einem bestimmten Zeitpunkt) etc.

Bremsweg in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit

Ein wichtiger Kunstgriff der Mathematik ist die Abstraktion: Es wird von der konkreten Situation bewußt abgesehen und statt mit Bremsweg, Zeit, Energieverbauch, etc. beschäftigen wir uns mit ,,anonymen'', universell verwendbaren Größen, den Variablen. Alles was wir über Funktionen herausfinden, ist also universell (in jedem Beispiel) gültig, wobei natürlich eine exakte mathematische Erklärung (sprich Definition), was eine Funktion sein soll, zugrundegelegt werden muss---das ist Stoff der ,,Einführung in die Mathematik/das Mathematische Arbeiten'' (EMA).

Darauf und auf der Definition der reellen Zahlen (siehe ebenfalls EMA) aufbauend ist es der rote Faden der Analysis, das Äderungsverhalten von Funktionen zu verstehen, zu beschreiben und zu beherrschen. Das Studium von funktionellem Änderungsverhalten ist, wie schon oben angedeutet, keineswegs ein rein ,,akademisches Vergnügen'', sondern ist eng verbunden mit dem Bestreben der Menschen die uns umgebende Welt zu verstehen und zu gestalten. Das zeigt insbesondere die Geschichte der Analysis, deren Entstehen und Meilensteine Hand in Hand gehen mit der Entwicklung der neuzeitlichen Physik durch Newton, Euler, Lagrange und Laplace, um nur die großen Denker des Anfangs zu nennen. Insofern ist die Analysis fundamentaler Bestandteil der naturwissenschaftlich-technischen Revolution, die in den letzten 4 Jahrhunderten unsere Welt so tiefgreifend und beispiellos verändert hat.

Etwas technischer formuliert sind die zentralen Fragestellungen beim Studium des Änderungsverhalten von Funktionen:

• Welche Begriffe eignen sich am besten dazu das Verhalten von Funktionen ,,im Kleinen'' zu erfassen.
• Wie kann man aus dieser Kenntnis einer Funktion ,,im kleinen'' Aussagen über die Funktion ,,im Ganzen'' gewinnen.

Die Analysis ist jedoch weit mehr als ein Lehrsystem indem diese abstrakten Begriffe zu abstrakten Resultaten verwoben werden. Sie bringt in schier unglaublicher Methodenvielfalt eine Fülle konkreter mathematischer Resultate hervor. Dabei steht oft der Gedanke der Approximation im Zentrum, es ergeben sich eine Unzahl ,,schöner'' Formeln und Identitäten und immer wieder können überraschende Beziehungen zwischen Begriffen hergestellt werden, die zunächst ischeinbar nichts miteinander zu tun haben.

Methode: Sie haben das Glück diese Begriffe in einer vergleichsweise verständlichen Form kennen lernen zu können. Das war nicht immer so, denn bis weit ins 19. Jahrhundert waren die Mathematiker*innen auf eine mehr oder weniger gut funktionierende Intuition beim Umgang mit ,,unendlich kleinen Größen'' angewiesen. Heutzutage versteht es sich aber von selbst, dass jede Darstellung der Analysis der axiomatischen Methode zu folgen hat. Die ganze Theorie und alle ihre Aussagen werden in einem streng logischen Aufbau aus den Grundeigenschaften der reellen Zahlen gewonnen. Jede mathematische Disziplin verdankt ihre Sicherheit aber oft auch ihre Schönheit dieser Methode.

Andererseits ist es eben dieser abstrakte Zugang, der viele Studierende vor die große Herausforderung stellt, den deduktiven Aufbau mit ihrem Vorwissen, ihrer Intuition, Phantasie und Kreativität in Einklang zu bringen. Dazu gehört auch das Erlernen und selbstverständliche Verwenden der Fachsprache und insofern wird hier auch der methodische roter Faden aus der EMA übernommen.

Lehrveranstaltungen im Sommersemester 2020

Das Herzstück der fachlichen Analysisausbildung im Lehramtsstudium ist die 5-stündige Vorlesung Analysis in einer Variable für das Lehramt. Diese wird von einer 2-stündigen Übung begleitet. Zusätzlich zu diesen Pflichtveranstaltungen findet als freiwilige Zusatzveranstaltung das Analysis-Café statt, das von Tutorinnen geleitet wird.

Analysis in einer Variable für das Lehramt

Inhalt: Aufbauend auf der ,,Einführung in die Mathematik/das mathematische Arbeiten'' (EMA), insbesondere auf den Eigenschaften der reellen (und komplexen) Zahlen und dem Funktionsbegriff entwickeln wir die Grundbegriffe der Analysis.

Nach einer kurzen Zusammenstellung der für uns relevanten Resultate der EMA (insbesondere: R als ordnungsvollständiger geordneter Körper) wenden wir uns reellen Folgen und dem Grenzwertbegriff (Limes), dem zentralen Begriff der gesamten Analysis zu. Eine Folge konvergiert gegen ein Zahl, ihren Grenzwert, falls sie diesem schließlich beliebig nahe kommt. Wie ein roter Faden zieht sich die (Ordnungs-)Vollständigkeit der reellen Zahlen durch dieses Kapitel zu dessen Abschluss wir unendliche Reihen studieren.
Als nächstes wenden wir uns stetigen Funktionen einer reellen Variable zu. Diese ,,schönen'' Funktionen haben die Eigenschaft, dass die Bildwerte ,,nahe beieinander'' liegender Punkte ebenfalls ,,nahe beieinander'' liegen bzw. dass sie konvergente Folgen im Definitionsbereich in konvergente Folgen im Wertebereich übersetzen. Viele bekannte Funktionen wie die Exponential- und die Logarithmusfunktion sowie die Winkelfunktionen fallen in diese Klasse und werden an dieser Stelle genau untersucht.

Danach wenden wir uns der Differential- und Integralrechnung von Funktionen f:R->R zu. Dabei nimmt unser Studium des Änderungsverhaltens von Funktionen (vgl. Was will und was soll die Analysis) eine alles entscheidende Wendung. Zunächst befassen wir uns mit dem Begriff der Differenzierbarkeit: Eine Funktion heißt differenzierbar in einem Punkt, falls sie in der Nähe dieses Punkts ,,gut'' durch eine Gerade (ihre Tangente/Schmiegegerade) approximiert werden kann. Nach einem gründlichen Studiums dieses Begriffs untersuchen wir die Eigenschaften differenzierbarer Funktionen und lernen als wichtiges Resultat den Mittelwertsatz der Differentialrechnung kennen.
Weiters befassen wir uns mit der Integralrechnung und studieren ausführlich das Riemann Integral. Eine Funktion heißt Riemann integrierbar, falls sie zwischen stückweise konstanten Funktionen (sog. Treppenfunktionen) ,,gut eingezwickt'' werden kann. Die Verbindung zwischen Integral und Differential stellen wir mit dem Hauptresultat der Vorlesung, dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung her.
Schließlich lernen wir den Satz von Taylor kennen, der es erlaubt den Gesamtverlauf (,,schöner'') Funktionen allein aus der Kenntnis ihrer Ableitungen in einem Punkt zu rekonstruieren. Dieser Satz führt uns weiter zum Studium von Potenzreihen und allgemeiner von Funktionenfolgen und -reihen---also Folgen bzw. Reihen wo die Glieder nicht reelle Zahlen sind sondern Funktionen.

Literatur/Skriptum: Inhaltlich orientiere ich mich an den (englisch-sprachigen) Skripten von Günther Hörmann (Einführung in die Analysis und Analysis, Kap. VI,V). Dieses sind stark an [Otto Forster, Analysis 1, Vieweg+Teubner, 10. Auflage, 2011] orientiert, einem Buch, das durch seinen knappen und prägnanten Stil hervorsticht. Weitere Bücher an denen ich mich orientiere sind [Erhard Behrends, Analysis Band 1: Ein Lernbuch für den sanften Wechsel von der Schule zur Uni, Springer Spektrum, 6. Auflage, 2014] und [Oliver Deiser, Analysis 1 (Mathematik für das Lehramt), Springer Spektrum, 2. Auflage, 2013]. Der allumfassende Klassiker ist natürlich [Harro Heuser, Lehrbuch der Analysis. Teil 1, Vieweg+Teubner, 17. Auflage, 2009]. Alle diese Quellen und noch weitere Bücher habe ich in einer kurzen kommentierten Literaturliste zusammengestellt. Die Titel von Behrends, Deiser und Forster sind auch als Online-Ressource verfügbar. Weitere Literaturhinweise werde ich in der Vorlesung besprechen.

Derzeit ist ein Skriptum zur Vorlesung in Vorbereitung. Dieses orientiert sich sehr stark an meinen (handschriftlichen) Vorlesungsausarbeitungen aus dem Studienjahr 2012/13 (Einführung in die Analysis, Analysis in einer Varibalen für LAK). Die jeweils fertigen Teile werden in Moodle zur Verfügung gestellt.

Modus: Die Vorlesung ist 5-stündig, wird aber teilgeblockt 6 Stunden pro Woche gehalten. Dafür entfallen (nach rechtzeitiger Ankündigung) einige Termine, so z.B. Mo. 9. und Di. 10.3. (Do. 12.3. ist ohnehin vorlesungsfrei.)

Vorbereitung: Falls Sie noch vor Beginn der Vorlesung Lust haben, sich auf die Analysis einzustimmen---vor allem da Sie vermutlich die EMA schon im Wintersemester 2018/19 absolviert haben---empfehle ich Ihnen die entsprechenden Teile (vorallem Abschnitte 4.3 und 6.4) in [Schichl, Steinbauer, Einführung in das mathematische Arbeiten, Springer Spektrum, 3. Auflage, 2018] (ebenfalls als Online-Ressource erhältlich) zu wiederholen oder auch einen Blick in das Buch von Behrends zu werfen, das sich hervorragend zum Selbststudium eignet.

Die Prüfung zur Vorlesung ist schriftlich, dauert 120 Minuten und besteht aus 2 Teilen. Der erste Teil ist ein Mulitiple-Coice-Test zum VO-Stoff, wobei Definitionen, Resultate, Standard-Beispiele und Gegenbeispiele abgefragt werden, sowie kleine Aufgaben im Stil von Übungsaufgaben zu bearbeiten sind. Der zweite Teil besteht aus offenen Fragen zum VO-Stoff, wobei hier der Fokus auf dem theoretischen Hintergrund und dem Verständnis von Zusammenhängen liegt. Es sind Beweise zu zentralen Resultaten inklusive Verständnisfragen (z.B: Wo geht Voraussetzung A im Beweis ein? Auf welchen früheren Resultaten beruht der Beweis?) zu bearbeiten, ebenso wie Überblicks- und Verständnisfragen (z.B: Bei welchen Resultaten spielt die Vollständigkeit der reellen Zahlen eine zentrale Rolle? Inwiefern sind im Lichte des Hauptsatzes Differenzieren und Integrieren ,,Umkehroperationen"?). Weiters sind Anwendungen von Resultaten im Kontext konkreter Aufgabenstellungen gefragt, ebenfalls im Stile von Übungsaufgaben.

Für das Bestehen der Prüfung müssen beide Teile positiv bewertert werden. Ein Prüfungsteil wird positiv bewertet, falls mehr als die Hälfte der maximalen Punktezahl erreicht wird.

Prüfungsstoff ist der gesamte in der Vorlesung vorgetragene Stoff. Bei der Prüfung sind keine elektronischen Hilfsmittel, keine Formelsammlungen oder Skripten erlaubt. Insgesamt werden 4 Prüfungstermine angeboten (2.7., 30.9. (statt 29.9. wg. Covid-Maßnahmen der Uni Wien) und 21.12.2020, der letzte ca. Ende Jänner 2021). Die Anmeldung erfolgt über u:space.

Detailierte Püfungsinformationen finden Sie in Moodle bzw. hier.

Prüfungsmaterialien und -statistik

Übung: Analysis in einer Variable für das Lehramt

Ganz allgemein bilden Übungen mit den dazugehörigen Vorlesungen eine untrennbare Einheit: Der behandelte Stoff ist identisch, es laufen bloss die beiden jeweils passenden Teile des Lernprozesses in der Vorlesung bzw. in den Übungen ab. Dabei dienen die Übungen der eigenständigen Erarbeitung und Vertiefung des Stoffes, was meist anhand praktischer Aufgaben geschieht, die die Teilnehmer*innen selbständig lösen und in der Präsenzphase vortragen und diskutieren. Ein Verständnis der einschlägigen Begriffe kann nur auf Basis beider Veranstaltungen entstehen.
Um einen in diesem Sinne effizienten Übungbetrieb zu gewährleisten, werden angesichts der zu erwartenden Hörer*innenzahl 10 Gruppen angeboten. Für die Teilnahme an den Übungen ist eine Anmeldung in u:space erforderlich und die persönliche Teilnahme am ersten Termin.

Aufgabensammlung: Hier stehen die einzelnen Blätter der Aufgabensammlung zum download bereit: Blatt 0, Blatt 1, Blatt 2, Blatt 3, Blatt 4, Blatt 5, Blatt 6, Blatt 7, Blatt 8, Blatt 9, Blatt 10, Blatt 11, Blatt 12, Blatt 13, Blatt 14.

Analysis-Café

Beim Analysis-Café handelt es sich um ein frewilliges Zusatzangebot zu dem alle Studierenden der Vorlesungund der Übungen herzlich eingeladen sind. Es bietet ein Forum zur Förderung, Vertiefung und Verbreiterung des Verständnisses der Kerninhalte der Vorlesung.

In Form von Diskussionen, Gruppenarbeiten und Kurzvorträgen werden wir zentrale Begriffsbildungen beleuchten. Im Bearbeiten von Musterbeispielen werden wir Standardmethoden und Kerntechniken trainieren. Der stark interaktive Charakter bietet Raum, Fragen der Studierenden nachzugehen und typischen Verständnisschwierigkeiten effizient zu begegnen. Das Analysis-Café wird von den beiden Tutorinnen Carina Aschauer und Frances Teichmann in Zusammenarbeit mit Roland Steinbauer gestaltet.

Die Auftaktveranstaltung findet am Mo. 9.3. 9:45-11:15 im Hs. 1 statt (also zum Vorlesungstermin; an diesem Tag findet keine Vorlesung statt). Der regelmäßge Termin ist dann ab dem 17.3.

• Gruppenarbeit EMA's top three (9.3.)

• KW12 (17.3.): Angabe, Ausarbeitung
• KW13 (24.3.): Angabe, Ausarbeitung
• KW14 (31.3.): Angabe, Ausarbeitung
• KW17 (21.4.): Angabe, Ausarbeitung
• KW18 (27.4.): Angabe, Ausarbeitung
• KW19 (4.5.): Angabe, Ausarbeitung
• KW20 (11.5.): Angabe, Ausarbeitung
• KW21 (18.5.): Angabe, Ausarbeitung
• KW22 (25.5.): Angabe, Ausarbeitung
• KW24 (8.6.): Angabe, Ausarbeitung
• KW25 (15.6.): Angabe, Ausarbeitung
• KW26 (22.6.): Angabe, Ausarbeitung
• KW27 (29.6.): Angabe, Ausarbeitung

Lehrveranstaltungen im Wintersemester 2020/21

Die schulmathematische Ausbildung in Analysis besteht aus der 2-stündigen Vorlesung Schulmathematik Analysis, die von 1-stündigen Übungen begleitet werden.

Schulmathematik Analysis

Covid-Info: Die Vorlesung wurde von der Fakultät als Präsenzveranstaltung im Hörsaal priorisiert. Je nach aktuellen Vorgaben der Universität Wien bzgl. der Pandemiesituation kann es aber auch (teilweise oder gesamt) zu einer Umstellung auf Online-Lehre kommen.

Allgemeines: Die Analysis ist eines der zentralen Teilgebiete der Mathematik und in seiner Bedeutung kaum zu überschätzen. Ebenso ist die Schulanalysis eine der tragenden Säulen der Schulmathematik. Ihr Kern besteht aus der Differential- und Integralrechnung für reelle Funktionen in einer Variablen, ihr zentraler Begriff ist der des Grenzwerts.

Als Ziel der Vorlesung (und der zugehörigen Übungen) formuliert das Curriculum: Die Studierenden erkennen die Relevanz der fachmathematischen Konzepte für den Schulunterricht und können diese dort angemessen verwenden. Sie kennen verschiedene Möglichkeiten für Zugänge zu grundlegenden Themen des Analysis- Schulunterrichts (und ihrer Anwendungen) und können diese bewerten. Die Studierenden können in diesem Gebiet fachdidaktische Konzepte anwenden und Computer in angemessener Weise einsetzen, sie kennen typische Fehlvorstellungen und passende Interventionsmöglichkeiten.

Um dieses Ziel zu erreichen, werden wir in der Vorlesung die Schulanalysis von einem höheren Standpunkt aus betrachten. Das bedeutet, dass der Hauptstrang der Vorlesung die zentralen Inhalte der Schulanalysis behandelt, aus verschiedenen Perspektiven beleuchtet und ein umfassendes Verständnis der analytischen Kernbegriffe und ihrer Zusammenhänge herstellt. Dabei werden wir einerseits an die Inhalte und (mathematischen) Methoden der Fachvorlesung ,,Analysis in einer Variable für das Lehramt'' anknüpfen und andererseits ausführlich Bezüge zur Unterrichtspraxis herstellen. Wir stellen einen fachdidaktischen Begriffsrahmen zur Verfügung, der es erlaubt, das mathematisches Fachwissen zu reflektieren und mathematikdidaktisches Professionswissen aufzubauen. Damit sollen die Hörer/innen befähigt, werden einen qualitätsvollen Analysis-Unterricht zu gestalten, der fachlich und fachdidaktisch fundiert ist und sich durch eine reflektierte Unterrichtspraxis ausgezeichnet.

Hochschuldidaktischer Hintergrund: Es gibt eine umfangreiche Literatur zum sog. Lehrerprofessionswissen. Durch große empirische Studien ist belegt, dass sich das mathematische Lehrerwissen valide in die beiden Teilbereiche mathematical content knowledge (MCK) und paedagogical context knowledge (PCK) unterteilen lässt. Letzteres könnte man auch kurz „fachdidaktisches Handlungswissen“ nennen und ist Hauptprädiktor für den Lernerfolg von Schülern/innen. MCK der Lehrkraft hat zwar auch einen positiven Einfluss auf die Unterrichtsqualität, reicht aber alleine nicht aus. Allerdings beruht PCK immer auf einer soliden Basis von MCK.

Darüber hinaus sind typische unterrichtliche Handlungsanforderungen an Lehrkräfte ebenfalls gut empirisch erforscht. Es ergeben sich z.B. folgende mathematischen Kernaufgaben, die Lehrer/innen in ihrer täglichen Praxis zu bewältigen haben:

• Anforderungen an Schüler/innen (aus Schulbüchern, Tafelbildern oder Tests) selbst bewältigen und auf verschiedenen Niveaus bearbeiten können
• Lernziele setzen und ausschärfen
• Zugänge (in Schulbüchern, Tafelbildern o.ä.) analysieren und bewerten
• Aufgaben und Lernanlässe auswählen, verändern oder konstruieren
• Tests entwickeln und re-skalieren
• geeignete Darstellungen und Exaktheitsstufen auswählen und nutzen sowie zwischen ihnen vermitteln
• Äußerungen von Lernenden analysieren, bewerten und darauf lernförderlich reagieren
• Fehler von Lernenden analysieren und darauf lernförderlich reagieren
• fachlich substantielle, produktive Diskussionen moderieren
• zwischen verschiedenen Sprachebenen (Alltagssprache, Fachsprache,Symbolsprache) flexibel hin-und herwechseln
• Lernstände, Lernprozesse und Lernerfolge erfassen
• Begriffe und Konzepte erklären und Bezüge herstellen

• Was will und was soll die (Schul-)analysis
• Fachdidaktischer Begriffsrahmen (Grunderfahrungen, Grundvorstellungen und Aspekte)
• Funktionsbegriff
• Folgen, Grenzwert und Vollständigkeit der reellen Zahlen
• Differentialrechnung
• Integralrechung
• Spezielle Funktionen

• R. Danckwerts, D. Vogel, Analysis verständlich unterrichten (Spektrum, Heildeberg, 2006) und
• G. Greefrath, R. Oldenburg, H.-S. Siller, V. Ulm, H.-G. Weigand, Didaktik der Analysis. Aspekte und Grundvorstellungen zentraler Begriffe (Springer-Spektrum, Berlin, 2016).

Übung: Schulmathematik Analysis

Ganz allgemein bilden Übungen mit den dazugehörigen Vorlesungen eine untrennbare Einheit: Der behandelte Stoff ist identisch, es laufen bloss die beiden jeweils passenden Teile des Lernprozesses in der Vorlesung bzw. in den Übungen ab. Dabei dienen die Übungen der eigenständigen Erarbeitung und Vertiefung des Stoffes, was meist anhand praktischer Aufgaben geschieht, die die Teilnehmer*innen selbständig lösen und in der Präsenzphase vortragen und diskutieren. Ein Verständnis der einschlägigen Begriffe kann nur auf Basis beider Veranstaltungen entstehen.
Um einen in diesem Sinne effizienten Übungbetrieb zu gewährleisten, werden angesichts der zu erwartenden Hörer*innenzahl 8 Gruppen angeboten. Für die Teilnahme an den Übungen ist eine Anmeldung in u:space erforderlich und die persönliche Teilnahme am ersten Termin.

Aufgabensammlung: Blatt 1, Blatt 2, Blatt 3, Blatt 4, Blatt 5, Blatt 6, Blatt 7, Blatt 8, Blatt 9, Blatt 10, Blatt 11